15. Triangles (त्रिकोण)

triangle
  • As we have a tendency to mentioned within the introduction, a triangle could be a sort of two-dimensional figure, that has 3 sides, and therefore the 2 sides square measure joined finish to finish is named the vertex of Triangulum. Associate in Nursing angle is made between 2 sides. this can be one amongst the vital elements of pure mathematics.(जैसा कि हमने परिचय में चर्चा की है, एक त्रिभुज एक प्रकार का बहुभुज होता है, जिसमें तीन भुजाएँ होती हैं, और दोनों भुजाएँ अंत से अंत तक जुड़ती हैं जिसे त्रिभुज की शीर्ष रेखा कहा जाता है। एक कोण दो पक्षों के बीच बनता है। यह ज्यामिति के महत्वपूर्ण भागों में से एक है।)

Shape of Triangle (त्रिभुज का आकार)

  • Triangle may be a closed two-dimensional form. it’s a trilateral plane figure. All sides area unit manufactured from straight lines. the purpose wherever 2 straight lines be a part of is that the vertex. Hence, constellation has 3 vertices. every vertex forms AN angle. (त्रिभुज एक बंद दो आयामी आकृति है। यह तीन तरफा बहुभुज है। सभी पक्ष सीधी रेखाओं से बने होते हैं। वह बिंदु जहां दो सीधी रेखाएं जुड़ती हैं, शीर्ष है। इसलिए, त्रिभुज के तीन कोने हैं। प्रत्येक शीर्ष एक कोण बनाता है।)
  • There are three angles in a triangle. These angles are formed by two sides of the triangle, which meets at a common point, known as the vertex. The sum of all three interior angles is equal to 180 degrees. (त्रिभुज में तीन कोण होते हैं। ये कोण त्रिभुज के दो किनारों से बनते हैं, जो एक सामान्य बिंदु पर मिलते हैं, जिसे शीर्ष के रूप में जाना जाता है। सभी तीन आंतरिक कोणों का योग 180 डिग्री के बराबर है।)
  • If we extend the side length outwards, then it forms an exterior angle. The sum of consecutive interior and exterior angles of a triangle is supplementary.  (यदि हम साइड की लंबाई को बाहर की तरफ बढ़ाते हैं, तो यह एक बाहरी कोण बनाता है। त्रिभुज के लगातार आंतरिक और बाहरी कोणों का योग पूरक है।)
  • Let us say, ∠1, ∠2 and ∠3 are the interior angles of a triangle. When we extend the sides of the triangle in the outward direction, then the three exterior angles formed are ∠4, ∠5 and ∠6, which are consecutive to ∠1, ∠2 and ∠3, respectively. (बता दें, us1, ∠2 और are3 एक त्रिभुज के आंतरिक कोण हैं। जब हम त्रिभुज की भुजाओं को बाहरी दिशा में बढ़ाते हैं, तो बनने वाले तीन बाहरी कोण क्रमशः ,4, ∠5 और ∠6 होते हैं, जो क्रमशः ∠1, ∠2 और ∠3 तक होते हैं।)
  • Hence, 
  • ∠1 + ∠4 = 180°   ……(i)
  • ∠2 + ∠5 = 180°  …..(ii)
  • ∠3 + ∠6 = 180°  …..(iii)
  • If we add the above three equations, we get; (यदि हम उपरोक्त तीन समीकरण जोड़ते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं;)
  • ∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6 = 180° + 180° + 180°
  • Now, by angle sum property we know, (अब, हम जानते हैं कि कोण से संपत्ति,)
  • ∠1+∠2+∠3 = 180°
  • Therefore, 
  • 180 + ∠4+∠5+∠6 = 180° + 180° + 180°
  • ∠4+∠5+∠6 = 360°
  • This proves that the sum of the exterior angles of a triangle is equal to 360 degrees. (यह साबित करता है कि त्रिभुज के बाहरी कोण का योग 360 डिग्री के बराबर है)

Properties (गुण)

  • Each and each form in Maths has some properties that distinguish them from one another. allow us to discuss here a number of the properties of triangles. (मैथ्स में प्रत्येक आकृति में कुछ गुण होते हैं जो उन्हें एक दूसरे से अलग करते हैं। आइए हम यहां त्रिकोण के कुछ गुणों के बारे में चर्चा करते हैं)
  1. A triangle has three sides and three angles. (एक त्रिभुज की तीन भुजाएँ और तीन कोण होते हैं।)
  2. The sum of the angles of a triangle is always 180 degrees. (त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है।)
  3. The exterior angles of a triangle always add up to 360 degrees. (एक त्रिकोण के बाहरी कोण हमेशा 360 डिग्री तक जुड़ते हैं।)
  4. The sum of consecutive interior and exterior angle is supplementary. (निरंतर आंतरिक और बाहरी कोण का योग पूरक है।)
  5. The sum of the lengths of any two sides of a triangle is greater than the length of the third side. Similarly, the difference between the lengths of any two sides of a triangle is less than the length of the third side. (किसी त्रिभुज की दोनों भुजाओं की लंबाई का योग तीसरी भुजा की लंबाई से अधिक है। इसी प्रकार, त्रिभुज के किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई के बीच का अंतर तीसरे पक्ष की लंबाई से कम है।)
  6. The shortest side is always opposite the smallest interior angle. Similarly, the longest side is always opposite the largest interior angle. (सबसे छोटा पक्ष हमेशा सबसे छोटे आंतरिक कोण के विपरीत होता है। इसी तरह, सबसे लंबा पक्ष हमेशा सबसे बड़े आंतरिक कोण के विपरीत होता है)
triangle

Types of Triangles (त्रिकोण के प्रकार)

Classification of a triangle by internal angles (आंतरिक कोणों द्वारा एक त्रिभुज का वर्गीकरण)

  • Based on the angle measurement, there are three types of triangles: (कोण माप के आधार पर, तीन प्रकार के त्रिकोण हैं:)
  1. Acute Angled Triangle (एक्यूट एंगल ट्रायंगल)
  2. Right-Angled Triangle (समकोण ट्रिभुज)
  3. Obtuse Angled Triangle (ओबटस एंगल्ड ट्रायंगल)

Let us discuss each type in detail. (आइए हम प्रत्येक प्रकार पर विस्तार से चर्चा करें।)

Acute Angle Triangle (तीव्र कोण त्रिभुज)

Properties of triangle - Acute angled triangle

A triangle that has all three angles less than 90° is an acute angle triangle. (एक त्रिभुज जिसमें 90 ° से कम तीन कोण हैं, एक तीव्र कोण त्रिभुज है।

  • So, all the angles of an acute angle triangle are called acute angles (तो, एक तीव्र कोण त्रिभुज के सभी कोणों को तीव्र कोण कहा जाता है)
  • Given below is an example of an acute angle triangle. (नीचे दिए गए एक तीव्र कोण त्रिकोण का एक उदाहरण है)
Properties of triangles - RIght angled triangle - Pythagoras theorem
  • A triangle that has one angle that measures exactly 90° is a right-angle triangle. (एक त्रिभुज जिसमें एक कोण है जो ठीक 90 ° मापता है, एक समकोण त्रिभुज है।)
  • The other two angles of a right-angle triangle are acute angles. (समकोण त्रिभुज के अन्य दो कोण तीव्र कोण हैं।)
  • The side opposite to the right angle is the largest side of the triangle and is called the hypotenuse. (समकोण के विपरीत वाला भाग त्रिभुज का सबसे बड़ा भुजा है और इसे कर्ण कहा जाता है।)
  • In a right-angled triangle, the sum of squares of the perpendicular sides is equal to the square of the hypotenuse.
  • For e.g. considering the above right-angled triangle ACB, we can say:समकोण त्रिभुज में, लंबवत पक्षों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर होता है।
  • उदा। उपरोक्त समकोण त्रिभुज ACB को देखते हुए, हम कह सकते हैं:

(AC)^2 + (CB)^2 = (AB)^2

This is known as Pythagoras theorem

  • Vice versa, we can say that if a triangle satisfies the Pythagoras condition, then it is a right-angled triangle.इसे पाइथागोरस प्रमेय के रूप में जाना जाता है.इसके विपरीत, हम कह सकते हैं कि यदि कोई त्रिकोण पाइथागोरस की स्थिति को संतुष्ट करता है, तो यह एक समकोण त्रिभुज है।

Obtuse/Oblique Angle Triangle (तिर्यक त्रिभुज)

  • A triangle that has one angle that measures more than 90° is an obtuse angle triangle.
  • Given below is an example of an obtuse/oblique angle triangle.[एक त्रिभुज जिसमें एक कोण होता है जो 90 ° से अधिक मापता है वह एक कोण कोण त्रिकोण है।नीचे दिए गए एक obtuse / तिरछा कोण त्रिकोण का एक उदाहरण है।)
Properties of triangles - Obtuse angled triangle

Classification of triangles by length of sides (पक्षों की लंबाई से त्रिकोणों का वर्गीकरण)

  • Based on the length of the sides, triangles are classified into three types: (पक्षों की लंबाई के आधार पर, त्रिकोणों को तीन प्रकारों में वर्गीकृत किया जाता है:)
  1. Scalene Triangle (विषमबाहु त्रिकोण)
  2. Isosceles Triangle(समद्विबाहु त्रिकोण)
  3. Equilateral Triangle (समान भुजाओं वाला त्रिकोण)
  • Let us discuss each type in detail. 9आइए हम प्रत्येक प्रकार पर विस्तार से चर्चा करें)

Scalene triangle (विषमबाहु त्रिकोण)

Properties of triangles - Scalene triangle
  • A triangle that has all three sides of different lengths is a scalene triangle.[एक त्रिभुज जिसमें विभिन्न लंबाई के सभी तीन पक्ष होते हैं, एक त्रिभुज त्रिभुज होता है।]
  • Since all the three sides are of different lengths, the three angles will also be different.[चूंकि तीनों पक्ष अलग-अलग लंबाई के हैं, इसलिए तीन कोण भी अलग-अलग होंगे।]
  • Given below is an example of a scalene triangle[नीचे दिया गया एक स्केलीन त्रिकोण का एक उदाहरण है]

Isosceles triangle (समद्विबाहु त्रिकोण)

Properties of triangles - Isosceles triangle
  • A triangle that has two sides of the same length and the third side of a different length is an isosceles triangle.[एक त्रिकोण जिसमें एक ही लंबाई के दो पहलू होते हैं और एक अलग लंबाई का तीसरा पक्ष एक समद्विबाहु त्रिकोण होता है।]
  • The angles opposite the equal sides measure the same.[समान पक्षों के विपरीत कोण समान मापते हैं।]
  • Given below is an example of an isosceles triangle.[नीचे दिए गए समद्विबाहु त्रिकोण का एक उदाहरण है।]

Equilateral triangle (समान भुजाओं वाला त्रिकोण)

Properties of triangles - Equilateral Triangle
  • A triangle which has all the three sides of the same length is an equilateral triangle.[एक त्रिभुज जिसमें समान लंबाई के सभी तीन पक्ष हैं, एक समबाहु त्रिभुज है।]
  • Since all the three sides are of the same length, all the three angles will also be equal.[चूंकि तीनों पक्ष समान लंबाई के हैं, इसलिए सभी तीन कोण भी बराबर होंगे।]
  • Each interior angle of an equilateral triangle = 60°[एक समबाहु त्रिभुज का प्रत्येक आंतरिक कोण = 60 °]

     

Formula (सूत्र)

Perimeter of Triangle (त्रिभुज की परिधि)

  • A perimeter of a triangle is outlined because the total length of the periphery of Triangulum. Or we are able to say, the perimeter of Triangulum is capable the add of all its 3 sides. The unit of the perimeter is same because the unit of sides of Triangulum.(त्रिकोण की परिधि को त्रिकोण की बाहरी सीमा की कुल लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया है। या हम कह सकते हैं, त्रिभुज की परिधि इसके तीनों पक्षों के योग के बराबर है। परिधि की इकाई त्रिभुज के पक्षों की इकाई के समान है।)
  • Perimeter (परिमाप) = Sum of All Sides (सभी पक्षों का योग)
  • If ABC is a triangle, where AB, BC and AC are the lengths of its sides, then the perimeter of ABC is given by:[यदि ABC एक त्रिभुज है, जहाँ AB, BC और AC इसके किनारे की लंबाई है, तो ABC की परिधि निम्नानुसार है:]
  • Perimeter = AB+BC+AC[परिधि = एबी + बीसी + एसी]

Area of a Triangle (एक त्रिभुज का क्षेत्र)

  • Area of triangle (त्रिभुज का क्षेत्रफल) =  Half of Product of Base and Height (बेस और ऊंचाई के उत्पाद का आधा)
  • Area = 1/2 × Base × Height[क्षेत्र = 1/2 × बेस × ऊँचाई]

Area of Triangle Using Heron’s Formula (हेरॉन के फॉर्मूला का उपयोग करते हुए त्रिभुज का क्षेत्रफल)

  • In case, if the height of a triangle is not given, we cannot be able to use the above formula to find the area of a triangle.[यदि किसी त्रिभुज की ऊँचाई नहीं दी जाती है, तो हम त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए उपरोक्त सूत्र का उपयोग नहीं कर सकते हैं।]
  • Therefore, Heron’s formula is used to calculate the area of a triangle, if all the sides lengths are known.[इसलिए, त्रिकोण के क्षेत्र की गणना करने के लिए हेरॉन के सूत्र का उपयोग किया जाता है, यदि सभी पक्षों की लंबाई ज्ञात हो।]
  • First, we need to calculate the semi perimeter (s).[सबसे पहले, हमें अर्ध परिधि (एस) की गणना करने की आवश्यकता है।]
  • s = (a+b+c)/2,                     (where a,b,c are the three sides of a triangle)[s = (a + b + c) / 2, (जहां a, b, c त्रिभुज के तीन पहलू हैं)]
  • Now Area is given by; A = √[s(s-a)(s-b)(s-c)][अब क्षेत्र द्वारा दिया गया है; ए = s [एस (एस-ए) (एस-बी) (एस-सी)]]

Practice Questions (प्रश्नों का अभ्यास करें)

  1. If ABC is a triangle where AB = 3cm, BC=5cm and AC = 4cm, then find its perimeter. (यदि एबीसी एक त्रिकोण है जहां एबी = 3 सेमी, बीसी = 5 सेमी और एसी = 4 सेमी है, तो इसकी परिधि का पता लगाएं।)
  2. Find the area of a triangle having sides 5,6 and 7 units length. (5,6 और 7 इकाइयों की लंबाई वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।)
  3. In ∆XYZ, M and N are points on XZ and YZ respectively such that MN is the perpendicular bisector of YZ. If XM = XY and ∠XYZ = 90, what is ∠XZY? (OnXYZ में, M और N क्रमशः XZ और YZ पर अंक हैं, जैसे MN YZ का लंबवत द्विभाजक है। यदि XM = XY और ∠XYZ = 90 what, ZXZY क्या है?)
  4. The sum of all the three sides of an equilateral triangle is 72 &redic;3 cm. Find the height of this triangle (एक समबाहु त्रिभुज के तीनों पक्षों का योग 72 & redic; 3 cm है। इस त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात कीजिए)
  5. If there is an equilateral triangle having area A and there is a square having an area B and they have the same perimeter, then(यदि एक समभुज त्रिभुज है जिसका क्षेत्रफल A है और एक वर्ग B है जिसका क्षेत्रफल B है और उनकी समान परिधि है, तो)

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