13. Straight Lines (सीधी रेखाएं)

Definition (परिभाषा)

A straight line is a figure formed when two points $A(x1,y1)$ and $B(x2,y2)$ are connected with minimum distance between them, and both the ends extended to infinity. (एक सीधी रेखा एक आकृति बनती है जब दो बिंदु A (X1, y1) और B (x2, y2) उनके बीच न्यूनतम दूरी से जुड़े होते हैं, और दोनों छोर अनंत तक विस्तारित होते हैं।)

Types of Straight Lines (सीधी रेखाओं के प्रकार)

Straight lines are classified on the basis of their alignment. (सीधी रेखाओं को उनके संरेखण के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।)

Horizontal Lines (क्षैतिज रेखाएँ)

The lines which are drawn horizontally are called horizontal lines. (वे रेखाएँ जो क्षैतिज रूप से खींची जाती हैं, क्षैतिज रेखाएँ कहलाती हैं।)
$AB¯$ is a horizontal line. (एक क्षैतिज रेखा है।)

Vertical Lines (ऊर्ध्वाधर पंक्तियां)

The lines which are drawn vertically are called vertical lines. (जो रेखाएँ लंबवत खींची जाती हैं, उन्हें लंबवत रेखाएँ कहते हैं।)
$CD$ is a vertical line. (एक वर्टिकल लाइन है।)

Oblique or Slanting Lines (तिरछा या तिरछी रेखाएँ)

The lines which are drawn in a slanting position or it is forming some angle other than 0, 90, 180, 270, 360 degrees with the horizontal or vertical lines are called oblique or slanting line. (वे रेखाएँ जो तिरछी स्थिति में खींची जाती हैं या यह 0, 90, 180, 270, 360 डिग्री के अलावा क्षैतिज या खड़ी रेखाओं के अलावा कुछ कोण बनाती हैं, तिरछी या तिरछी रेखा कहलाती हैं।)
$EF¯ and GH¯$ is a vertical line. (एक वर्टिकल लाइन है।)

Equation of a Straight Line (एक सीधी रेखा का समीकरण)

A straight line on a cartesian plane can have different representations, some of them are: (एक कार्टेसियन प्लेन पर एक सीधी रेखा में अलग-अलग प्रतिनिधित्व हो सकते हैं, उनमें से कुछ हैं:)

General Equation of a Straight Line (एक सीधी रेखा का सामान्य समीकरण)

The general equation of a straight line can be given as: (एक सीधी रेखा के सामान्य समीकरण को निम्न प्रकार दिया जा सकता है:)

$ax+by+c=0$

Where $a,b,c$ are constants and $x,y$ are variables.[(जहां ए, बी, सी स्थिरांक और x, y हैं चर हैं।)]

Slope and Y-intercept Form (ढलान और Y- अवरोधन प्रपत्र)

A straight line having slope $m=tanθ ,$ where $θ$ is the angle formed by the line with the positive x-axis, and y-intercept as $c$ is given by: (ढलान m = tanθ वाली एक सीधी रेखा जहां-धनात्मक x- अक्ष के साथ रेखा द्वारा निर्मित कोण है, और c के रूप में y- अवरोधन है द्वारा दिया गया है:)

$y=mx+c$

Slope Point Form (ढलान बिंदु रूप)

A straight line having slope $m=tanθ ,$ where $θ$ is the angle formed by the line with the positive x-axis, and passing through a point $(x1,y1)$ is given by: (ढलान m = tanθ वाली एक सीधी रेखा जहां θ धनात्मक x- अक्ष के साथ रेखा द्वारा निर्मित कोण है, और एक बिंदु से होकर गुजर रहा है (X1, y1)द्वारा दिया गया है:)

$y-y1=m(x-x1)$

Two Point Form (टू पॉइंट फॉर्म)

A straight line passing through points $(x1,y1)$ and $(x2,y2)$ is given by:[बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा (X1, y1)और (x2, y2)द्वारा दिया गया है:]

$y-y1=(y2-y1x2-x1)(x-x1)$

Intercept Form (अवरोधक रूप)

A straight line having x-intercept as $a$ and y-intercept as $b$ as shown in figure below where point A is on x-axis (vertical here) and point B is on y-axis (horizontal here), is given by:एक सीधी रेखा जिसमें x- अवरोधन होता है a और y- अवरोधन के रूप में बी जैसा कि नीचे बिंदु में दिखाया गया है कि बिंदु ए एक्स-एक्सिस (वर्टिकल यहाँ) पर है और पॉइंट बी वाई-एक्सिस (क्षैतिज यहाँ) पर है, द्वारा दिया गया है:)

$xa+yb=1$

Straight lines Geometry (सीधी रेखाएँ ज्यामिति)

Line Parallel to Axes (अक्ष के समानांतर रेखा)

Equation of a line parallel to the axes can be given as: Line parallel to x-axis [कुल्हाड़ियों के समानांतर एक रेखा का समीकरण निम्नानुसार दिया जा सकता है:एक्स-एक्सिस के समानांतर रेखा)

$y=a$

Where $a (जहां एक)$ is constant. (स्थिर है।)
Line parallel to y-axis (Y- अक्ष के समानांतर रेखा)

$x=b$

Where $b (जहां बी)$ is constant. (स्थिर है।)

Intersecting Lines (अंतर्विरोधी लाइनें)

If two line $m:x+4y=10 (यदि दो लाइन m: x + 4y = 10)$ and $n:2x-3y=6 (और n: 2x y 3y = 6)$ intersect at a point $P(a,b) (एक बिंदु P (a, b) पर प्रतिच्छेद)$ , then coordinates of the point $P (, फिर बिंदु P का निर्देशांक)$ can be calculated by solving the equations of line simulteneously. (एक साथ लाइन के समीकरणों को हल करके गणना की जा सकती है।)

$x+4y=102x-3y=6$ $\begin{matrix} \end{matrix}$

We will get $x=3011$

and $y=2611$

So, coordinate of the point $P (तो, बिंदु P का समन्वय करें)$

is $(3011,2611)$

Parallel Lines (समानांतर रेखाएं)

If two lines $y=12x (यदि दो पंक्तियाँ y = 12x)$ and $y=12x-4$ are parallel to each other, then their slopes are equal. Here in this case both the lines have equal slope of $12 (एक दूसरे के समानांतर हैं, फिर उनकी ढलान बराबर है। यहाँ इस मामले में दोनों पंक्तियों में 12 की समान ढलान है)$

Perpendicular Lines (लम्बवत रेखायें)

If two line $y=3x-1 (यदि दो लाइन y = 3x 3x 1)$ and $y=-13x-2$ are perpendicular to each other, the product of their slopes is $-1 (एक दूसरे के लंबवत हैं, उनकी ढलानों का उत्पाद to1 है)$ here in this case: (यहाँ इस मामले में:)
$m1=3m2=-13m1\timesm2=3\times-13m1\timesm2=-1$ $\begin{matrix} \end{matrix}$

Positive or Negative Slope (सकारात्मक या नकारात्मक ढलान)

Zero Slope (शून्य ढलान)

If a line formes $0\circ$ angle with the x-axis, the slope of the line is 0. the slope of a line $m=tanθ,$ $θ=0\circ,$ hence $m=tan0\circ=0.$ the line with 0 slope is parallel to x-axis.[यदि कोई रेखा x- अक्ष के साथ 0∘ कोण बनाती है, तो रेखा का ढलान 0. पंक्ति मीटर = ढलान का ढलान है,θ = 0 the इसलिए m = tan0∘ = 0 0 ढलान वाली रेखा x- अक्ष के समानांतर है।]

Positive Slope (सकारात्मक ढलान)

If a line forms an angle which lies between $0\circ$ and $90\circ$ with the x-axis, the slope of the line is positive. (यदि एक रेखा एक कोण बनाती है जो x- अक्ष के साथ 0∘ और 90 the के बीच स्थित होती है, तो रेखा का ढलान सकारात्मक होता है।)

Negative Slope (नकारात्मक ढलान)

If a line forms an angle which lies between $90\circ$ and $180\circ$ with the x-axis, the slope of the line is negative. (यदि एक रेखा एक कोण बनाती है जो 90∘ और 180 the के बीच x- अक्ष के साथ स्थित होती है, तो रेखा का ढलान ऋणात्मक होता है।)

Infinite Slope (अनंत ढलान)

If a line formes $90\circ$ angle with the x-axis, the slope of the line is not defined or infinite. the slope of a line $m=tanθ,$ $θ=90\circ,$ hence $m=tan90\circ,$ which is not defined. the line with infinite slope is parallel to the y-axis. (यदि कोई रेखा x- अक्ष के साथ 90∘ कोण बनाती है, तो रेखा का ढलान परिभाषित या अनंत नहीं है। ढलान की रेखा m = tanθ ope = 90 m इसलिए m = tan90 is जो परिभाषित नहीं है। अनंत ढलान वाली रेखा y- अक्ष के समानांतर है।)

Properties of a Straight Line (एक सीधी रेखा के गुण)

1. A straight line has infinite length. We can never calculate the distance between the two extreme points of the line. ( एक सीधी रेखा में अनंत लंबाई होती है। हम रेखा के दो चरम बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना कभी नहीं कर सकते।)

2. Whereas what we see around us as lines, for example, the edge of a table, side of rule these all are the examples of Line Segments. (जबकि हम अपने चारों ओर रेखाओं के रूप में जो देखते हैं, उदाहरण के लिए, एक तालिका के किनारे, शासन के पक्ष ये सभी लाइन सेगमेंट के उदाहरण हैं।)

3. A straight line has zero area, zero volume. but it has infinite length. (एक सीधी रेखा में शून्य क्षेत्र, शून्य मात्रा होती है। लेकिन इसकी अनंत लंबाई है।)

4. A straight line is a one-dimensional figure, Infine number of lines can pass through a single point, but there is only one unique line which passes through two points. ( एक सीधी रेखा एक आयामी आकृति है, लाइनों की एक संख्या Infine एक बिंदु से गुजर सकती है, लेकिन केवल एक अनूठी रेखा है जो दो बिंदुओं से गुजरती है।)

Practice Questions (प्रश्नों का अभ्यास करें)

Paul draw a line on a cartesian plane with the equation y=2x−1
” data-lrn-mathjax-postprocessed=”true”> $y = 2 x - 1$
and his sister draws the line $2y=x+1$
” data-lrn-mathjax-postprocessed=”true”> $2 y = x + 1$
, Paul says that the lines intersect in the 2nd quadrant and his sister says that the lines intersect in the 1st quadrant, who is correct (पॉल समीकरण y = 2x his 1 के साथ एक कार्तीय तल पर एक रेखा खींचता है और उसकी बहन 2y = x + 1 रेखा खींचती है, पॉल का कहना है कि लाइनें 2 चतुर्थांश में प्रतिच्छेद करती हैं और उसकी बहन कहती है कि पंक्तियाँ 1 चतुर्थांश में प्रतिच्छेद करती हैं। कौन सही है)
A colony is situated on a cartesian plane, Mathew’s house is situated at location (4,3)
” data-lrn-mathjax-postprocessed=”true”> $(4, 3)$
and Jim’s home is located at $(7,-2)$
” data-lrn-mathjax-postprocessed=”true”> $(7, - 2)$
two roads have to be constructed from a square located at $(3,2)$
” data-lrn-mathjax-postprocessed=”true”> $(3, 2)$
, find out whether these two roads are perpendicular to each other or not (assuming that roads are forming a straight line). (एक कॉलोनी एक कार्तीय तल पर स्थित है, मैथ्यू का घर स्थान (4,3) पर स्थित है और जिम का घर (7, )2) पर स्थित है, दो सड़कों का निर्माण एक वर्ग (3,2) में स्थित है, ये दोनों सड़कें एक-दूसरे के लिए लंबवत हैं या नहीं (यह मानते हुए कि सड़कें एक सीधी रेखा बन रही हैं)।
A line having x-intercept as −1
” data-lrn-mathjax-postprocessed=”true”> $- 1$
and y-intercept as $12$
” data-lrn-mathjax-postprocessed=”true”> $\frac{1}{2}$
another line having a slope equal to 3, what is the angle between these two lines. (Cept1 और y- अवरोधन के रूप में एक्स-इंटरसेप्ट वाली एक रेखा 12 के रूप में एक दूसरी रेखा है जिसमें 3 के बराबर ढलान है, इन दो लाइनों के बीच का कोण क्या है।)
A line ax + by + c = 3 passes through the points (2, 3), (5, 6), (1, 1), What is the value of 8a + 10b + 3c? (अंक (2, 3), (5, 6), (1, 1) के माध्यम से एक लाइन कुल्हाड़ी + + = = 3 गुजरती है, 8a + 10b + 3c का मान क्या है?)
The sum of x-intercept and y-intercept of the line 4y + 6x = 48 is (4y + 6x = 48 की रेखा के x- अवरोधन और y- अवरोधन का योग है)