Simplification-सरलीकरण

विभिन्न ऑपरेशन (जोड़, घटाव, गुणन और भाग) और कोष्ठक (vinculum, गोलाकार, घुंघराले और चौकोर कोष्ठक) युक्त अभिव्यक्ति को सरल बनाने के लिए, हम निम्नलिखित नियमों का पालन करते हैं।(To simplify the expression containing the various operations (Addition, subtraction, Multiplication and Division) and brackets (vinculum, circular, curly and square brackets), we follow the following rules.)
“BODMAS”
- जिसमें(In which)
  - B – “Bracket”(ब्रैकेट)
  - O – “Of”
  - D – “Division”(विभाजन) ‘ $\div$ ‘
  - M – “Multiplication”(गुणन) ‘ $\times$ ‘
  - A – “Addition”(जोड़) ‘+’
  - S – “Subtraction”(घटाव) ‘-‘
विभिन्न ब्रैकेट की उपस्थिति में हम निम्नलिखित नियम का पालन करते हैं।(In the presence of various bracket we follow the following rule.)
“ViCiCuSq”
- जिसमें(In which)
  - Vi – “Vinculum” ‘_’
  - Ci – “Circular Bracket” ‘()’
  - Cu – “Curly Bracket” ‘{}’
  - Sq – “Square Bracket” ‘[]’
ध्यान दें(NOTE)
- किसी भी ऑपरेशन या किसी ब्रैकेट की अनुपस्थिति में, हम सरलीकरण की प्रक्रिया में उस ऑपरेशन या ब्रैकेट को छोड़ देते हैं।(In the absence of any operation or any bracket, we skip that operation or bracket in the process of simplification.)

बीजगणितीय सूत्र: निम्नलिखित बीजीय सूत्र एक अभिव्यक्ति को हल करने में सहायक होंगे।(Algebraic formulae : The following algebraic formulae will be helpful in solving an expression.)
1. ${ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }=(a+b)(a-b)$
2. $({ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 })={ a }^{ 2 }+2ab+{ b }^{ 2 }$
3. $({ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 })={ a }^{ 2 }-2ab+{ b }^{ 2 }$
4. $({ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 })=({ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 })+4ab$
5. ${ \left( a+\frac { 1 }{ a } \right) }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } +2$
6. ${ \left( a-\frac { 1 }{ a } \right) }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+\frac { 1 }{ { a }^{ 2 } } -2$
7. ${ \left( a+\frac { 1 }{ a } \right) }^{ 2 }={ \left( a-\frac { 1 }{ a } \right) }^{ 2 }+4$
8. ${ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }=(a+b)({ a }^{ 2 }-ab+{ b }^{ 2 })$
9. ${ a }^{ 3 }-{ b }^{ 3 }=(a-b)({ a }^{ 2 }+ab+{ b }^{ 2 })$
10. ${ (a+b) }^{ 3 }={ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }+3ab(a+b)$
  - ${ a }^{ 3 }+{ b }^{ 3 }={ (a+b) }^{ 3 }-3ab(a+b)$
11. ${ (a-b) }^{ 3 }={ a }^{ 3 }-{ b }^{ 3 }-3ab(a-b)$
  - ${ (a }^{ 3 }-{ b }^{ 3 })={ (a-b) }^{ 3 }+3ab(a-b)$
12. ${ (a+b+c) }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }+{ c }^{ 2 }+2(ab+bc+ca)$
आवर्ती दशमलव संख्या का जोड़(Addition of Recurring Decimal Number)
- आवर्ती दशमलव संख्या को जोड़ने के लिए सबसे पहले संख्याओं को भिन्न में बदलें।(To find the addition of recurring decimal number first change the numbers into the fraction.)
- हर के रूप में 9 के रूप में अंक में आवर्ती या अंकों के तहत अंकों की संख्या में डालें और आवर्ती को हटा दें।(Put as many 9’s in the denominator as the number of digits under recurring or digits in the numerator and delete the recurring.)
  - e.g., $0.\bar { 45 } =\frac { 45 }{ 99 } =\frac { 5 }{ 11 }$
- एक मिश्रित आवर्ती दशमलव एक अश्लील अंश के बराबर होता है, जिसमें उसके अंश के लिए सभी अंको द्वारा गठित संख्याओं के बीच का अंतर होता है, जो दोहराव नहीं करते हैं, और इसके हर के लिए संख्या को 9 के रूप में बनाते हैं जैसे कि दोहराए जाने वाले अंक हैं, इसके बाद के रूप में कई शून्य के गैर आवर्ती अंक हैं।(A mixed recurring decimal is equal to a vulgar fraction which has for its numerator the difference between the numbers formed by all the digits which do not repeat, and for its denominator the number formed by as many 9’s as there are repeating digits, followed by as many zero’s there are non recurring digits.)
  - e.g., $2.53\bar { 6 } =2+\frac { 536-53 }{ 900 } =2+\frac { 483 }{ 900 } \\ =2\cfrac { 101 }{ 300 }$
- अब, हम आवश्यक राशि का आसानी से पता लगा सकते हैं।(Now, we can easily find out the required sum.)
  - e.g., $0.\overline { 5 } +0.\overline { 6 } +0.\overline { 7 } =\frac { 5 }{ 9 } +\frac { 6 }{ 7 } +\frac { 7 }{ 9 } \\ =\frac { 18 }{ 9 } =2$
महत्वपूर्ण तथ्य(Important Facts)
- $If\quad a=n(n+1)$ ,
  - $then\quad \sqrt { a-\sqrt { a-\sqrt { a-.......\infty } } } =n$
- $If\quad a=n(n+1),$
  - $then\quad \sqrt { a+\sqrt { a+\sqrt { a+.......\infty } } } =n+1$