10. Probability, Permutations and combinations (संभाव्यता, क्रमपरिवर्तन और संयोजन)

probability
  • Probability is a measure of the likelihood of an event to occur. Many events cannot be predicted with total certainty. We can predict only the chance of an event to occur i.e. how likely they are to happen, using it. (संभाव्यता किसी घटना के घटित होने की संभावना का एक पैमाना है। कुल निश्चितता के साथ कई घटनाओं की भविष्यवाणी नहीं की जा सकती है। हम किसी घटना के होने की संभावना का केवल अनुमान लगा सकते हैं यानी वे इसका उपयोग करने की कितनी संभावना है।
  • Probability can range in from 0 to 1, where 0 means the event to be an impossible one and 1 indicates a certain event.[प्रायिकता 0 से 1 के बीच हो सकती है, जहां 0 का अर्थ है घटना का असंभव होना और 1 एक निश्चित घटना को इंगित करता है।]
  • The probability formula is defined as the possibility of an event to happen is equal to the ratio of the number of favourable outcomes and the total number of outcomes. (संभाव्यता सूत्र को एक घटना की संभावना के रूप में परिभाषित किया गया है जो अनुकूल परिणामों की संख्या और परिणामों की कुल संख्या के अनुपात के बराबर है।
    Probability of event to happen (घटना होने की संभावना) P(E) = Number of favourable outcomes (अनुकूल परिणामों की संख्या) /Total Number of outcomes (परिणामों की कुल संख्या)
  • Sometimes students get mistaken for “favourable outcome” with “desirable outcome”. This is the basic formula. But there are some more formulas for different situations or events. (कभी-कभी छात्रों को “वांछनीय परिणाम” के साथ “अनुकूल परिणाम” के लिए गलत हो जाता है। यह मूल सूत्र है। लेकिन विभिन्न स्थितियों या घटनाओं के लिए कुछ और सूत्र हैं।)

Types of Probability (संभाव्यता के प्रकार)

Theoretical Probability (सैद्धांतिक संभावना)

  • It is based on the possible chances of something to happen. The theoretical probability is mainly based on the reasoning behind probability. For example, if a coin is tossed, the theoretical probability of getting a head will be ½. (यह कुछ होने की संभावित संभावनाओं पर आधारित है। सैद्धांतिक संभावना मुख्य रूप से संभाव्यता के पीछे के तर्क पर आधारित है। उदाहरण के लिए, यदि एक सिक्का उछाला जाता है, तो सिर पाने की सैद्धांतिक संभावना coin होगी।)

Experimental Probability (प्रायोगिक संभावना)

  • It is based on the basis of the observations of an experiment. The experimental probability can be calculated based on the number of possible outcomes by the total number of trials. For example, if a coin is tossed 10 times and heads is recorded 6 times then, the experimental probability for heads is 6/10 or, 3/5. (यह एक प्रयोग की टिप्पणियों के आधार पर आधारित है। प्रयोगात्मक संभाव्यता की गणना कुल परीक्षणों द्वारा संभावित परिणामों की संख्या के आधार पर की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि एक सिक्का 10 बार उछाला जाता है और सिर 6 बार दर्ज किया जाता है, तो सिर के लिए प्रायोगिक संभावना 6/10 या, 3/5 है।)

Axiomatic Probability (स्वयंसिद्ध संभावना)

  • In axiomatic probability, a set of rules or axioms are set which applies to all types. These axioms are set by Kolmogorov and are known as Kolmogorov’s three axioms. (स्वयंसिद्ध संभाव्यता में, नियमों या स्वयंसिद्धों का एक सेट निर्धारित किया जाता है जो सभी प्रकारों पर लागू होता है। ये स्वयंसिद्ध कोलमोगोरोव द्वारा निर्धारित हैं और कोलमोगोरोव के तीन स्वयंसिद्ध के रूप में जाने जाते हैं)
  • With the axiomatic approach to chance, the probabilities of prevalence or non-occurrence of the events will be quantified. The axiomatic chance lesson covers this idea thoroughly with Kolmogorov’s 3 rules (axioms) together with numerous examples. (स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण से प्रायिकता के साथ, घटनाओं के घटित होने या न होने की संभावना निर्धारित की जा सकती है। स्वयंसिद्ध प्रायिकता पाठ इस अवधारणा को कोलमोगोरोव के तीन नियमों (स्वयंसिद्ध) के साथ विभिन्न उदाहरणों के साथ विस्तार से शामिल करता है।)
  • Conditional Probability is the likelihood of an event or outcome occurring based on the occurrence of a previous event or outcome. (सशर्त संभाव्यता किसी घटना या परिणाम की पूर्ववर्ती घटना या परिणाम की घटना के आधार पर होने की संभावना है।)

Probability of an Event (एक घटना की संभावना)

  • Assume an event E can occur in r ways out of a sum of n probable or possible equally likely ways. Then the probability of happening of the event or its success  is expressed as; (एक घटना मान लें कि n संभावित या संभव समान रूप से संभव योग की राशि से r तरीके में हो सकता है। तब घटना के घटित होने या उसके सफल होने की संभावना व्यक्त की जाती है)
  • P(E) = r/n
  • The probability that the event will not occur or known as its failure is expressed as: (इस घटना के घटित होने या न होने की संभावना इस रूप में व्यक्त की जाती है:)
  • P(E’) = (n-r)/n = 1-(r/n)
  • E’ represents that the event will not occur. (यह दर्शाता है कि घटना घटित नहीं होगी।)
  • Therefore, now we can say; (इसलिए, अब हम कह सकते हैं)
  • P(E) + P(E’) = 1
  • This means that the total of all the probabilities in any random test or experiment is equal to 1. (इसका मतलब यह है कि किसी भी यादृच्छिक परीक्षण या प्रयोग में सभी संभावनाओं का कुल योग 1 के बराबर है।)

Probability Terms and Definition (संभाव्यता शर्तें और परिभाषा)

Term (अवधि)Definition (परिभाषा)Example (उदाहरण)
Sample Space (नमूना जगह)The set of all the possible outcomes to occur in any trial (किसी भी परीक्षण में होने वाले सभी संभावित परिणामों का सेट)
  1. Tossing a coin, Sample Space (S) = {H,T}
  2. Rolling a die, Sample Space (S) = {1,2,3,4,5,6}(एक सिक्का फेंकना, नमूना स्थान (एस) = {एच, टी}
    सैंपल स्पेस (S) = {1,2,3,4,5,6})
Sample Point (नमूना बिंदु)It is one of the possible results (यह संभावित परिणामों में से एक है)

In a deck of Cards:

  • 4 of hearts is a sample point.
  • The queen of clubs is a sample point. (

    कार्ड के एक डेक में:

    4 दिलों का एक नमूना बिंदु है।
    क्लबों की रानी एक नमूना बिंदु है)

Experiment or Trial (प्रयोग या परीक्षण)A series of actions where the outcomes are always uncertain. (क्रियाओं की एक श्रृंखला जहां परिणाम हमेशा अनिश्चित होते हैं।)The tossing of a coin, Selecting a card from a deck of cards, throwing a dice. (सिक्के का पटकना, ताश के पत्तों के डेक से कार्ड चुनना, पासा फेंकना।)
Event (प्रतिस्पर्धा)It is a single outcome of an experiment. (यह एक प्रयोग का एकल परिणाम है।)Getting a Heads while tossing a coin is an event. (सिक्के को उछालते हुए हेड प्राप्त करना एक घटना है।)
Outcome (परिणाम)Possible result of a trial/experiment (परीक्षण / प्रयोग का संभावित परिणाम)T (tail) is a possible outcome when a coin is tossed. (टी (टेल) एक संभावित परिणाम है जब एक सिक्का उछाला जाता है।)
Complimentary event (बधाई देने वाली घटना0The non-happening events. The complement of an event A is the event, not A (or A’) (न होने वाली घटनाएँ। इवेंट A का पूरक ईवेंट है, A (या A)Standard 52-card deck, A = Draw a heart, then A’ = Don’t draw a heart (मानक 52-कार्ड डेक, ए = एक दिल ड्रा, फिर ए = = दिल नहीं खींचता)
Impossible Event (असंभव घटना)The event cannot happen (घटना नहीं हो सकती)In tossing a coin, impossible to get both head and tail at the same time (एक सिक्का उछालने में, एक ही समय में सिर और पूंछ दोनों प्राप्त करना असंभव है)

Permutation and Combination (क्रमपरिवर्तन और संयोजन)

  • In mathematics, permutation relates to the act of arranging all the members of a set into some sequence or order. (गणित में, क्रमांकन सेट के सभी सदस्यों को किसी क्रम या क्रम में व्यवस्थित करने के कार्य से संबंधित होता है।) 
  • In other words, if the set is already ordered, then the rearranging of its elements is called the process of permuting.(दूसरे शब्दों में, यदि सेट पहले से ही ऑर्डर किया गया है, तो इसके तत्वों के पुनर्व्यवस्थापन को अनुमति देने की प्रक्रिया कहा जाता है।)
  • Permutations occur, in more or less prominent ways, in almost every area of mathematics. They often arise when different orderings on certain finite sets are considered. (क्रमपरिवर्तन गणित के लगभग हर क्षेत्र में कम या ज्यादा प्रमुख तरीकों से होते हैं। वे अक्सर उत्पन्न होते हैं जब कुछ निश्चित सेटों पर अलग-अलग आदेशों पर विचार किया जाता है।)
  • The combination is a way of selecting items from a collection, such that (unlike permutations) the order of selection does not matter. (संयोजन एक संग्रह से आइटम का चयन करने का एक तरीका है, जैसे कि (क्रमपरिवर्तन के विपरीत) चयन का क्रम मायने नहीं रखता है। )
  • In smaller cases, it is possible to count the number of combinations. Combination refers to the combination of n things taken k at a time without repetition. (छोटे मामलों में, संयोजनों की संख्या को गिनना संभव है। संयोजन का तात्पर्य पुनरावृत्ति के बिना एक समय में कश्मीर ली गई n चीजों के संयोजन से है)
  • To talk over with combos within which repetition is allowed, the terms k-selection or k-combination with repetition square measure typically used. Permutation and Combination category eleven is one among the vital topics that helps in rating well in Board Exams.(उन संयोजनों को संदर्भित करने के लिए जिनमें पुनरावृत्ति की अनुमति है, पुनरावृत्ति के साथ के-चयन या के-संयोजन का उपयोग अक्सर किया जाता है। क्रमपरिवर्तन और संयोजन कक्षा 11 महत्वपूर्ण विषयों में से एक है जो बोर्ड परीक्षा में अच्छी तरह से स्कोर करने में मदद करता है।)

Formula (सूत्र)

Permutation Formula (क्रमचय सूत्र)

  • A permutation is the choice of r things from a set of n things without replacement and where the order matters. (एक क्रमपरिवर्तन n चीजों के सेट से बिना प्रतिस्थापन के आर चीजों का विकल्प है और जहां ऑर्डर मायने रखता है।)
  • nPr = (n!) / (n-r)!

Combination Formula (संयोजन सूत्र)

  • A combination is the choice of r things from a set of n things without replacement and where order does not matter. (एक संयोजन बिना प्रतिस्थापन के n चीजों के एक सेट से r चीजों का विकल्प है और जहां कोई फर्क नहीं पड़ता।)
  • Combination Formula

Difference Between Permutation and Combination (क्रमपरिवर्तन और संयोजन के बीच अंतर)

Permutation (क्रमपरिवर्तन)Combination (संयोजन)
Arranging people, digits, numbers, alphabets, letters, and colours (लोगों, अंकों, संख्याओं, अक्षर, अक्षरों और रंगों की व्यवस्था करना)Selection of menu, food, clothes, subjects, team. (मेनू, भोजन, कपड़े, विषयों, टीम का चयन।)
Picking a team captain, pitcher and shortstop from a group. (एक समूह से एक टीम के कप्तान, पिचकारी और शॉर्टस्टॉप चुनना।)Picking three team members from a group. (एक समूह से तीन टीम के सदस्यों को चुनना)
Picking two favourite colours, in order, from a colour brochure. (रंग ब्रोशर से, क्रम में दो पसंदीदा रंग चुनना।)Picking two colours from a colour brochure. (एक रंग विवरणिका से दो रंग चुनना।)
Picking first, second and third place winners. (पहले, दूसरे और तीसरे स्थान के विजेता चुने गए।)Picking three winners. (तीन विजेताओं को चुना।)

Practice Questions (प्रश्नों का अभ्यास करें)

  1. Find the number of permutations and combinations if n = 12 and r = 2. (क्रमपरिवर्तन और संयोजनों की संख्या ज्ञात करें यदि n = 12 और r = 2।)
  2. In a dictionary, if all permutations of the letters of the word AGAIN are arranged in an order. What is the 49th word? (एक शब्दकोश में, अगर AGAIN शब्द के सभी क्रमपरिवर्तन एक क्रम में व्यवस्थित हैं। 49 वाँ शब्द क्या है?)
  3. In how many ways a committee consisting of 5 men and 3 women, can be chosen from 9 men and 12 women? (5 तरीकों में 5 पुरुषों और 3 महिलाओं से युक्त एक समिति को 9 पुरुषों और 12 महिलाओं में से कैसे चुना जा सकता है?)
  4. Draw a random card from a pack of cards. What is the probability that the card drawn is a face card? (कार्ड के एक पैकेट से एक यादृच्छिक कार्ड ड्रा करें। क्या संभावना है कि तैयार किया गया कार्ड एक चेहरा कार्ड है?)
  5. A vessel contains 4 blue balls, 5 red balls and 11 white balls. If three balls are drawn from the vessel at random, what is the probability that the first ball is red, the second ball is blue, and the third ball is white?(एक बर्तन में 4 नीली गेंदें, 5 लाल गेंदें और 11 सफेद गेंदें होती हैं। यदि तीन गेंदें बेतरतीब ढंग से बर्तन से खींची जाती हैं, तो क्या संभावना है कि पहली गेंद लाल है, दूसरी गेंद नीली है और तीसरी गेंद सफेद है?)

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