17. Parallelogram (समानांतर चतुर्भुज)

parallelogram
  • A quadrilateral could be a quadrilateral with 2 pairs of parallel sides. the alternative sides of a quadrilateral area unit equal long, and also the opposite angles are} equal in measure.(समांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो समानांतर पैर होते हैं। समांतर चतुर्भुज के विपरीत भुजाएँ लंबाई में बराबर होती हैं, और विपरीत कोण माप में बराबर होते हैं।)
  • Also, the interior angles on the same side of the transversal are supplementary. Sum of all the interior angles equals 360 degrees. (इसके अलावा, ट्रांसवर्सल के एक ही तरफ आंतरिक कोण पूरक हैं। सभी आंतरिक कोणों का योग 360 डिग्री के बराबर होता है।)
  • A square and a rectangle are two shapes which have similar properties of a parallelogram. (cएक वर्ग और एक आयत दो आकृतियाँ होती हैं जिनमें समांतर चतुर्भुज के समान गुण होते हैं।)
  • Rhombus: If all the sides of a parallelogram are congruent or equal to each other, then it is a rhombus. (समचतुर्भुज: यदि एक समांतर चतुर्भुज के सभी पक्ष एक दूसरे के समतुल्य या समान हैं, तो यह एक राग है)
  • If there is one parallel side and the other two sides are non-parallel, then it is a trapezium. (यदि एक समानांतर पक्ष है और अन्य दो पक्ष गैर-समानांतर हैं, तो यह एक ट्रेपेज़ियम है।)
parallelogram
  • In the figure above, you can see, ABCD is a parallelogram, where AB || CD and AD || BC. (ऊपर दिए गए चित्र में, आप देख सकते हैं, ABCD एक समांतर चतुर्भुज है, जहाँ AB || सीडी और एडी || ई.पू.)
  • Also, AB = CD and AD = BC
  • And, ∠A = ∠C & ∠B = ∠D
  • Also, ∠A & ∠D are supplementary angles because these interior angles lie on the same side of the transversal. In the same way, ∠B & ∠C are supplementary angles. (इसके अलावा, lesA और areD पूरक कोण हैं क्योंकि ये आंतरिक कोण ट्रांसवर्सल के एक ही तरफ स्थित हैं। उसी तरह, &B और sameC पूरक कोण हैं।)
  • Therefore,
  • ∠A + ∠D = 180
  • ∠B + ∠C = 180
  • A parallelogram is a two-dimensional shape. It has four sides, in which two pairs of sides are parallel. Also, the parallel sides are equal in length. (समांतर चतुर्भुज एक द्वि-आयामी आकृति है। इसकी चार भुजाएँ हैं, जिसमें दो जोड़े पक्ष समानांतर हैं। साथ ही, समांतर भुजाएँ समान होती हैं।)
  • If the length of the parallel sides isn’t equal in measuring, then the form isn’t a tetragon. Similarly, the alternative interior angles of tetragon must always be equal. Otherwise, it’s not a tetragon. (यदि समानांतर पक्षों की लंबाई माप में बराबर नहीं है, तो आकार एक समांतर चतुर्भुज नहीं है। इसी तरह, समांतर चतुर्भुज के विपरीत आंतरिक कोण हमेशा बराबर होना चाहिए। अन्यथा, यह एक समांतर चतुर्भुज नहीं है।)
  • Square and Rectangle: A sq. and a parallelogram area unit 2 shapes that have similar properties of a tetragon. each have their opposite sides equal and parallel to every different. Diagonals of each the shapes cut one another. (वर्ग और आयत: एक वर्ग और एक आयत दो आकृतियाँ होती हैं जिनमें समांतर चतुर्भुज के समान गुण होते हैं। दोनों के अपने विपरीत पक्ष समान हैं और एक दूसरे के समानांतर हैं। दोनों आकृतियों के विकर्ण एक दूसरे को काटते हैं।)
  • Rhombus: If all the sides of a parallelogram are congruent or equal to each other, then it is a rhombus. (Rhombus: यदि किसी समांतर चतुर्भुज के सभी किनारे एक-दूसरे के समान या बराबर होते हैं, तो यह एक समभुज है।)
  • Rhomboid: A special case of a quadrangle that has its opposite sides parallel to every different however adjacent sides area unit of unequal lengths. Also, the angles area unit capable ninety degrees.(रोडोमिड: एक समांतर चतुर्भुज का एक विशेष मामला जिसमें इसके विपरीत पक्ष एक दूसरे के समानांतर होते हैं लेकिन आसन्न पक्ष असमान लंबाई के होते हैं। साथ ही, कोण 90 डिग्री के बराबर हैं।)
  • Trapezium: If there is one parallel side and the other two sides are non-parallel, then it is a trapezium. (ट्रेपेज़ियम: यदि एक समानांतर पक्ष है और अन्य दो पक्ष गैर-समानांतर हैं, तो यह एक ट्रेपेज़ियम है।)
  • A parallelogram is a flat 2d shape which has four angles. The opposite interior angles are equal. The angles on the same side of the transversal are supplementary, that means they add up to 180 degrees. Hence, the sum of the interior angles of a parallelogram is 360 degrees. (समांतर चतुर्भुज एक समतल 2d आकृति है जिसमें चार कोण होते हैं। विपरीत आंतरिक कोण बराबर हैं। ट्रांसवर्सल के एक ही कोण पर कोण पूरक हैं, इसका मतलब है कि वे 180 डिग्री तक जोड़ते हैं। इसलिए, एक समांतर चतुर्भुज के आंतरिक कोण का योग 360 डिग्री है।)
  • The opposite sides are parallel and congruent (विपरीत पक्ष समानांतर और अनुरूप हैं)
  • The opposite angles are congruent ( विपरीत कोण सर्वांगसम हैं)
  • The consecutive angles are supplementary (लगातार कोण पूरक हैं)
  • If anyone of the angles is a right angle, then all the other angles will be the right angle (यदि कोणों में से कोई एक समकोण है, तो अन्य सभी कोण समकोण होंगे)
  • The two diagonals bisect each other (दो विकर्ण एक दूसरे को काटते हैं)
  • Each diagonal bisects the parallelogram into two congruent triangles ( प्रत्येक विकर्ण समांतर चतुर्भुज को दो सर्वांगसम त्रिभुजों में विभाजित करता है)
  • Sum of square of all the sides of parallelogram is equal to the sum of square of its diagonals. It is also called parallelogram law ( समांतर चतुर्भुज के सभी पक्षों का योग इसके विकर्णों के वर्ग के योग के बराबर होता है। इसे समांतर चतुर्भुज कानून भी कहा जाता है)

Area of Parallelogram (समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल)

  • Area of a quadrilateral is that the region occupied by it in an exceedingly two-dimensional plane. Below is that the formula to search out the quadrilateral area:(समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र द्वि-आयामी विमान में इसके द्वारा व्याप्त क्षेत्र है। नीचे समांतर चतुर्भुज क्षेत्र खोजने का सूत्र दिया गया है:)
  • Area = Base × Height
  • In the above figure, ||gramABCD,  Area is given by; (उपरोक्त आंकड़े में, ग्राम सभा, क्षेत्र द्वारा दिया गया है?)
Area = a b sin A = b a sin B
  • where a is the slant length of the side of ||gramABCD and b is the base. (जहां एक तरफ की तिरछी लंबाई है। ग्रामबीसीडी और बी बेस है।)

Perimeter of Parallelogram (समांतर चतुर्भुज की परिधि)

  • The perimeter of any form is that the total distance of the lined round the form or its total length of any form. Similarly, the perimeter of a tetragon is that the total distance of the boundaries of the tetragon. To calculate the perimeter price, we’ve to understand the values of its length and breadth. The tetragon has its opposite sides equal long. Therefore, the formula to calculate the perimeter is written as;
  • (किसी भी आकार की परिधि आकृति के चारों ओर की गई कुल दूरी या किसी भी आकार की कुल लंबाई है। इसी तरह, एक समांतर चतुर्भुज की परिधि समांतर चतुर्भुज की सीमाओं की कुल दूरी है। परिधि मूल्य की गणना करने के लिए, हमें इसकी लंबाई और चौड़ाई के मूल्यों को जानना होगा। समांतर चतुर्भुज की लंबाई में बराबर विपरीत पक्ष होते हैं। इसलिए, परिधि की गणना करने का सूत्र निम्नानुसार है;)
Perimeter = 2 (a+b) units 
  • Where a and b are the length of the sides of the parallelogram. (जहां एक और बी समांतरभुज के पक्षों की लंबाई है।)
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  • Theorem 1: Parallelograms on the same base and between the same parallel sides are equal in area. (प्रमेय 1: समान आधार पर और समान समानांतर पक्षों के बीच समानांतर चतुर्भुज क्षेत्रफल में समान हैं।)
  • Proof: Two parallelograms ABCD and ABEF, on the same base DC and between the same parallel line AB and FC. (प्रमाण: दो समांतर चतुर्भुज ABCD और ABEF, एक ही आधार DC पर और समान समानांतर रेखा AB और FC के बीच।)
  • To prove that area (ABCD) = area (ABEF). (उस क्षेत्र (ABCD) को सिद्ध करने के लिए = क्षेत्र (ABEF))

Proof:

  • Consider the figure given below:
    Parallelogram ABCD and rectangle ABML are on the same base and between the same parallels AB and LC. (नीचे दिए गए आंकड़े पर विचार करें:समानांतर चतुर्भुज ABCD और आयत ABML एक ही आधार पर और समान समानता AB और LC के बीच हैं।)
  • area of parallelogram ABCD = area of parallelogram ABML
  • We know that area of a rectangle = length x breadth.
  • Therefore, area of parallelogram ABCD = AB x AL
  • Hence, the area of a parallelogram is the product of any base of it and the corresponding altitude.(समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्र = समांतर चतुर्भुज ABML का क्षेत्र)हम एक आयत का क्षेत्रफल = लंबाई x चौड़ाई जानते हैं।इसलिए, समांतर चतुर्भुज ABCD = AB x AL का क्षेत्रफल इसलिए, एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र इसके किसी भी आधार और संबंधित ऊंचाई का उत्पाद है।)
  • In ∆ADF and ∆BCE,
  • AD=BC (∴ABCD is a parallelogram ∴ AD=BC)
  • AF=BE (∴ABEF is a parallelogram ∴AF=BE)
  • ∠ADF=∠BCE (Corresponding Angles)
  • ∠AFD=∠BEC (Corresponding Angles)
  • ∠DAF =∠CBE (Angle Sum Property)
  • ∆ADE ≅ ∆BCF (From SAS-rule)
  • Area(ADF) = Area(BCE) (By congruence area axiom)
  • Area(ABCD)=Area(ABED) + Area(BCE)
  • Area(ABCD)=Area(ABED)+Area(ADF)
  • Area(ABCD)=Area(ABEF)
  • AndADF और andBCE में,
  • AD = BC (=ABCD एक समांतर चतुर्भुज है। AD = BC)
  • AF = BE (=ABEF एक समांतर चतुर्भुज है BEAF = BE)
  • ∠ADF = CEBCE (अनुरूप कोण)
  • ∠AFD = ECBEC (अनुरूप कोण)
  • ∠DAF = BECBE (कोण सम संपत्ति)
  • ∆ADE ∆ ≅BCF (एसएएस-शासन से)
  • क्षेत्र (ADF) = क्षेत्र (BCE) (अनुरूप क्षेत्र स्वयंसिद्ध)
  • क्षेत्र (ABCD) = क्षेत्र (ABED) + क्षेत्र (BCE)
  • क्षेत्र (ABCD) = क्षेत्र (ABED) + क्षेत्र (ADF)
  • क्षेत्र (ABCD) = क्षेत्र (ABEF)
  • Hence, the area of parallelograms on the same base and between the same parallel sides is equal. (इसलिए, समान आधार पर और समान समानांतर पक्षों के बीच समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल बराबर होता है।)
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Corollary (परिणाम)

  • quadrilateral and a parallelogram on constant base and between constant parallels are equal in space. (एक समांतर चतुर्भुज और एक आयत समान आधार पर और समान समता के बीच क्षेत्र में समान होते हैं।)
  • Proof: Since a rectangle is also a parallelogram so, the result is a direct consequence of the above theorem. (प्रमाण: चूंकि एक आयत भी एक समांतर चतुर्भुज है, इसलिए इसका परिणाम उपर्युक्त प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है।)
  • Theorem: The area of a parallelogram is the product of its base and the corresponding altitude. (प्रमेय: एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्र इसके आधार और संबंधित ऊंचाई का उत्पाद है।)
  • Given: In a parallelogram ABCD, AB is the base.
  • To prove that Area(||gmABCD) = AB×AL
  • दिया गया: एक समांतर चतुर्भुज ABCD में, AB आधार है।
  • उस क्षेत्र को साबित करने के लिए (|| gmABCD) = AB × AL
  • Construction: Complete the rectangle ALMB by Drawing BM perpendicular to CD. (रचना: सीडी पर बीएम लंबवत खींचकर आयत एएलएमबी को पूरा करें। ()]
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  1. Find the area of a parallelogram whose base is 5 cm and height is 8 cm. (एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका आधार 5 सेमी और ऊंचाई 8 सेमी है)
  2. Find the area of a parallelogram having a length of diagonals to be 10 and 22 cm and an intersecting angle to be 65 degrees. (समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करें जिसका विकर्ण लंबाई 10 और 22 सेमी हो और एक प्रतिच्छेद कोण 65 डिग्री हो।)
  3. Show that the quadrilateral ABCD, where the vertices are defined by their coordinates as follows: A(-2, 0), B(2 , 4), C(4 , 1) and D(0 , -3), is a parallelogram.(दिखाएँ कि चतुर्भुज ABCD, जहाँ कोने उनके निर्देशांक द्वारा इस प्रकार परिभाषित किए गए हैं: A (-2, 0), B (2, 4), C (4, 1) और D (0, -3), एक समांतर चतुर्भुज है ।)
  4. Given the length (in feet) of side AB and the internal angle D of the parallelogram below, find its height h and the length of side BC given that the area of the parallelogram is equal to 1000 feet(पार्श्व AB की लंबाई (पैरों में) और नीचे दिए गए समानांतर चतुर्भुज के आंतरिक कोण D को देखते हुए, इसकी ऊँचाई h और पक्ष BC की लंबाई ज्ञात कीजिए कि समांतरभुज का क्षेत्रफल 1000 फीट के बराबर है)
  5. If a parallelogram is not a rectangle, how many right angles does it have? (यदि एक समांतर चतुर्भुज एक आयत नहीं है, तो इसके कितने समकोण हैं?)

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