14. Pair of Linear Equations in two variables (दो चर में रैखिक समीकरणों की जोड़ी)

linear equations
  • An equation is alleged to be linear equations in 2 variables if it’s written within the variety of ax + by + c=0, where a, b & c square measure real numbers and also the coefficients of x and y, i.e a and b severally, aren’t capable zero.(एक समीकरण को दो चर में रैखिक समीकरण कहा जाता है यदि इसे कुल्हाड़ी के रूप में + c = 0 से लिखा जाता है, जहां a, b & c वास्तविक संख्याएं हैं और x और y के गुणांक, अर्थात क्रमशः a और b, शून्य के बराबर नहीं हैं।)
  • For example, 10x+4y = 3 and -x+5y = 2 are linear equations in two variables. (उदाहरण के लिए, 10x + 4y = 3 और -x + 5y = 2 दो चर में रैखिक समीकरण हैं।)
  • The solution for such an equation is a pair of values, one for x and one for y which further makes the two sides of an equation equal. (इस तरह के समीकरण का हल मूल्यों की एक जोड़ी है, एक के लिए x और एक के लिए y जो समीकरण के दो पक्षों को समान बनाता है।)
  • The solution of linear equations in two variables, ax+by = c, is a particular point in the graph, such that when x-coordinate is multiplied by a and y-coordinate is multiplied by b, then the sum of these two values will be equal to c. (दो चर में रैखिक समीकरणों का हल, ax + by = c, ग्राफ में एक विशेष बिंदु है, जैसे कि जब x- समन्वय को a से गुणा किया जाता है और y- समन्वय को b से गुणा किया जाता है, तो इन दो मानों का योग c के बराबर होना।)
  • Basically, for linear equation in two variables, there are infinitely many solutions. (मूल रूप से, दो चर में रैखिक समीकरण के लिए, असीम रूप से कई समाधान हैं।)

Unique Solution (अनोखा उपाय)

  • For the given linear equations in two variables, the solution will be unique for both the equations, if and only if they intersect at a single point. (दो चर में दिए गए रेखीय समीकरणों के लिए, समाधान दोनों समीकरणों के लिए अद्वितीय होगा, यदि और केवल यदि वे एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।)
  • The condition to get the unique solution for the given linear equations is, the slope of the line formed by the two equations, respectively, should not be equal. (दिए गए रेखीय समीकरणों के लिए अद्वितीय समाधान प्राप्त करने की स्थिति है, क्रमशः दो समीकरणों द्वारा बनाई गई रेखा की ढलान, बराबर नहीं होनी चाहिए।)
  • Consider, m1 and m2 are two slopes of equations of two lines in two variables. So, if the equations have a unique solution, then:
  • m1 ≠ m2
  • विचार करें, एम 1 और एम 2 दो चर में दो लाइनों के समीकरणों के दो ढलान हैं। तो, अगर समीकरणों का एक अनूठा समाधान है, तो:
  • एम 1 ≠ एम 2)

No Solution (कोई हल नहीं)

  • If the two linear equations have equal slope value, then the equations will have no solutions. (यदि दो रैखिक समीकरणों में समान ढलान मूल्य है, तो समीकरणों का कोई समाधान नहीं होगा।)
  • m1  = m2
  • This is because the lines are parallel to each other and do not intersect. (ऐसा इसलिए है क्योंकि लाइनें एक-दूसरे के समानांतर हैं और एक दूसरे को नहीं काटती हैं।)

System of Linear Equations in Two Variables (दो चर में रैखिक समीकरणों की प्रणाली)

  • Instead of finding the answer for one equation in 2 variables, we are able to take 2 sets of linear equations, each having 2 variables in them and realize the solutions. So, primarily the system of equations is outlined once there’s quite one linear equation. (दो चर में एकल रेखीय समीकरण का हल खोजने के बजाय, हम रैखिक समीकरणों के दो सेट ले सकते हैं, दोनों में दो चर होते हैं और समाधान पाते हैं। तो, मूल रूप से रैखिक समीकरणों की प्रणाली को परिभाषित किया जाता है जब एक से अधिक रैखिक समीकरण होते हैं)
  • For example, a+b = 15 and a-b = 5, are the system of linear equations in two variables. Because, the point a = 10 and b = 5 is the solution for both equations, such as: (उदाहरण के लिए, a + b = 15 और a-b = 5, दो चर में रैखिक समीकरणों की प्रणाली है। क्योंकि, बिंदु a = 10 और b = 5 दोनों समीकरणों का हल है, जैसे:)
  • a+b=10 + 5 = 15
  • a-b=10-5 = 5
  • Hence, proved point (10,5) is solution for both a+b=15 and a-b=5. (इसलिए, सिद्ध बिंदु (10,5) a + b = 15 और a-b = 5 दोनों के लिए समाधान है।)

Problems and Solutions (समस्याएं और समाधान)

  • Question: Find the value of variables which satisfies the following equation: (प्रश्न: चर का मान ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित समीकरण को संतुष्ट करता है:)
  • 2x + 5y = 20 and 3x+6y =12.
  • Solution:
  • Using the method of substitution to solve the pair of linear equation, we have: (रैखिक समीकरण की जोड़ी को हल करने के लिए प्रतिस्थापन की विधि का उपयोग करना, हमारे पास है:)
  • 2x + 5y = 20…………………….(i)
  • 3x+6y =12……………………..(ii)
  • Multiplying equation (i) by 3 and (ii) by 2, we have: (गुणा समीकरण (i) 3 से और (ii) 2 से, हमारे पास है:)
  • 6x + 15y = 60…………………….(iii)
  • 6x+12y = 24……………………..(iv)
  • Subtracting equation (iv) from (iii) ((Iii) से घटाना समीकरण (iv)
  • 3y = 36
  • ⇒ y = 12
  • Substituting the value of y in any of the equation (i) or (ii), we have (किसी भी समीकरण (i) या (ii) में y के मान को प्रतिस्थापित करना, हमारे पास है)
  • 2x + 5(12) = 20
  • ⇒ x = −20
  • Therefore, x=-20 and y =12 is the point where the given equations intersect. (इसलिए, x = -20 और y = 12 वह बिंदु है जहां दिए गए समीकरण प्रतिच्छेद करते हैं।
  • Now, it is important to know the situational examples which are also known as word problems from linear equations in 2 variables. (अब, स्थितिजन्य उदाहरणों को जानना महत्वपूर्ण है जिन्हें 2 चर में रैखिक समीकरणों से शब्द समस्याओं के रूप में भी जाना जाता है।)
  • Question 1: A boat running downstream covers a distance of 20 km in 2 hours while for covering the same distance upstream, it takes 5 hours. What is the speed of the boat in still water? (प्रश्न 1: डाउनस्ट्रीम चलने वाली एक नाव 2 किमी में 20 किमी की दूरी तय करती है जबकि उसी दूरी को ऊपर की ओर ढंकने में 5 घंटे का समय लगता है। अभी भी पानी में नाव की गति क्या है?)
  • Solution:
  • These types of questions are the real-time examples of linear equations in two variables. (इस प्रकार के प्रश्न दो चर में रैखिक समीकरणों के वास्तविक समय के उदाहरण हैं।)
  • In water, the direction along the stream is called downstream. And, the direction against the stream is called upstream.
  • Let us consider the speed of a boat is u km/h and the speed of the stream is v km/h, then:
  • पानी में, धारा के साथ दिशा को बहाव कहा जाता है। और, धारा के विरुद्ध दिशा को अपस्ट्रीम कहा जाता है।
  • आइए विचार करें कि नाव की गति u किमी / घंटा है और धारा की गति v किमी / घंटा है, तो:
  • Speed Downstream = (u + v) km/h
  • Speed Upstream = (u – v) km/h
  • We know that, Speed = Distance/Time
  • स्पीड डाउनस्ट्रीम = (यू + वी) किमी / घंटा
  • स्पीड अपस्ट्रीम = (यू – वी) किमी / घंटा
  • हम जानते हैं कि, स्पीड = दूरी / समय
  • So, the speed of boat when running downstream = (20⁄2) km/h = 10 km/h
  • The speed of boat when running upstream = (20⁄5) km/h = 4 km/h
  • तो, नीचे की ओर चलने पर नाव की गति = (20 )2) किमी / घंटा = 10 किमी / घंटा
  • ऊपर की ओर चलने पर नाव की गति = (20 of5) किमी / घंटा = 4 किमी / घंटा
  • From above, u + v = 10>…….(1)
  • u – v = 4 ………. (2)
  • Adding equation 1 and 2, we get: 2u = 1
  • u = 7 km/h
  • Also, v = 3 km/h
  • Therefore, the speed of the boat in still water = u = 7 km/h
  • समीकरण 1 और 2 को जोड़ने पर, हमें मिलता है: 2u = 1
  • u = 7 किमी / घंटा
  • इसके अलावा, v = 3 किमी / घंटा
  • इसलिए, स्थिर पानी में नाव की गति = यू = 7 किमी / घंटा

Practice Questions (प्रश्नों का अभ्यास करें)

  1. In a two digit number. The units digit is thrice the tens digit. If 36 is added to the number, the digits interchange their place. Find the number.(दो अंकों की संख्या में। इकाइयां अंक दसियों अंक का तीन बार होता है। यदि 36 को संख्या में जोड़ा जाता है, तो अंक अपनी जगह बदलते हैं। संख्या ज्ञात कीजिए।)
  2. If 2 is added to the numerator and denominator it becomes 9/10 and if 3 is subtracted from the numerator and denominator it become 4/5. Find the fractions. (यदि 2 को अंश और हर में जोड़ा जाता है तो यह 9/10 हो जाता है और यदि 3 को अंश और हर से घटाया जाता है तो यह 4/5 हो जाता है। अंशों का पता लगाएं)
  3. If twice the age of son is added to age of father, the sum is 56. But if twice the age of the father is added to the age of son, the sum is 82. Find the ages of father and son. (यदि पिता की आयु में दो बार पुत्र की आयु जोड़ी जाती है, तो योग 56 है। लेकिन यदि पिता की आयु में दो बार पुत्र की आयु जोड़ी जाती है, तो राशि 82 है। पिता और पुत्र की आयु ज्ञात कीजिए।)
  4. Jamal invites 15 people to his birthday party and orders enough cupcakes so that everyone (himself included) will get two cupcakes. How many cupcakes can everyone have if only 7 friends show up to Jamal’s party? (जमाल 15 लोगों को अपने जन्मदिन की पार्टी में आमंत्रित करता है और पर्याप्त कपकेक ऑर्डर करता है ताकि सभी (खुद शामिल) को दो कपकेक मिलें। जमाल की पार्टी में केवल 7 दोस्त दिखाई देने पर सभी को कितने कपकेक मिल सकते हैं?)
  5. Sarah earns $10 an hour selling calculators, and every time she sells a calculator, she earns an additional $3 comission. Jamie also sells calculators, and earns $30 an hour, but only earns an additional $1 comission for every calculator she sells. How many calculators per hour on average would Sarah have to sell to be making as much as Jamie would per hour, if Jamie sold the same number of calculators? (सारा $ 10 प्रति घंटा की बिक्री कैलकुलेटर कमाती है, और हर बार जब वह कैलकुलेटर बेचती है, तो वह $ 3 की अतिरिक्त कमाई करती है। जेमी भी कैलकुलेटर बेचती है, और $ 30 प्रति घंटा कमाती है, लेकिन वह अपने द्वारा बेची जाने वाली हर कैलकुलेटर के लिए अतिरिक्त $ 1 कॉमिशन कमाती है। औसतन प्रति घंटे कितने परिकलन करने वाले को सारा को जैमी के अनुसार प्रति घंटा बनाने के लिए बेचना होगा, अगर जैमी ने उतनी ही संख्या में कैलकुलेटर बेचे हों?)

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