Laws of Motion, Force, Work, Energy & Power, Centre of Mass-2[मोशन, फोर्स, वर्क, एनर्जी एंड पावर, सेंटर ऑफ मास -2]

Centre of mass[द्रव्यमान केंद्र]

Introduction[परिचय]

The centre of mass of the system is defined as the point in space, so that moment of the mass of the system about a reference point (origin), when whole of the system is supposed to be concentrated at it (center of mass) is equal to the vector sum of the momenta of the masses, of individual particles around the reference point.[सिस्टम के द्रव्यमान के केंद्र को अंतरिक्ष में बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है, इसलिए संदर्भ बिंदु (उत्पत्ति) के बारे में सिस्टम के द्रव्यमान का वह क्षण, जब पूरे सिस्टम को उस पर केंद्रित होना चाहिए (द्रव्यमान का केंद्र) संदर्भ बिंदु के आसपास व्यक्तिगत कणों के द्रव्यमान के क्षण के वेक्टर राशि के बराबर।]

If $\vec{R}_{CM}$ is the position vector of the center of mass,[यदि $\vec{R}_{CM}$ द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति वेक्टर है]
$(m_{1}+m_{2}+m_{3}+.....+m_{n})\vec{R}_{CM} = m_{1}\vec{r_{1}}+m_{2}\vec{r_{2}}+m_{3}\vec{r_{3}}+...+m_{n}\vec{r_{n}}$
The Centre of Mass After Removal of a Part of a Body[शरीर के एक हिस्से को हटाने के बाद द्रव्यमान का केंद्र]

If a portion of a body is taken out, the remaining portion may be considered as, original mass (M) -the mass of the removed part (m)[यदि किसी निकाय के एक हिस्से को निकाल लिया जाता है, तो शेष भाग को मूल द्रव्यमान (M) से हटाए गए भाग (M) के द्रव्यमान के रूप में माना जा सकता है।]
= {Original mass (M)} + {- mass of the removed part (m)}[= {मूल द्रव्यमान (M)} + {- निकाले गए भाग का द्रव्यमान (m)}]
The formula changes to:[सूत्र इसमें परिवर्तन करता है:]
Xcm = (Mx-mx’)/(M-m) and Ycm = (My-my’)/(M-m)
where primed ones represent the coordinate of the C.M. of the removed part.[जहां प्राइमेड सी.एम. के समन्वय का प्रतिनिधित्व करते हैं। हटाए गए भाग के।

Centre of Mass for a Continuous Distribution[एक सतत वितरण के लिए द्रव्यमान का केंद्र]

For a continuous distribution of mass, we can treat an element of mass dm at any position as a point mass and replace the summation by integration as shown below:[द्रव्यमान के निरंतर वितरण के लिए, हम किसी बिंदु पर द्रव्यमान के रूप में द्रव्यमान द्रव्यमान के एक तत्व का इलाज कर सकते हैं और नीचे दिखाए गए एकीकरण द्वारा योग को प्रतिस्थापित कर सकते हैं:]
R_cm= 1/M ∫ x dm
So, we get X_cm = 1/M ∫ x dm
Y_cm = 1/M ∫ y dm
Z_cm = 1/M ∫ z dm,
Note:For centre of mass the following are self-explanatory.[नोट: द्रव्यमान के केंद्र के लिए निम्नलिखित स्व-व्याख्यात्मक हैं।]
(1) There may or may not be any mass present at the centre of mass as can be seen in the figures below.[(1) द्रव्यमान के केंद्र में कोई द्रव्यमान मौजूद नहीं हो सकता है या नहीं हो सकता है जैसा कि नीचे दिए गए आंकड़ों में देखा जा सकता है।]
In the first body there is mass present at the centre of mass but in the second example of a ring there is no mass at the centre of mass.[पहले शरीर में, द्रव्यमान के केंद्र में द्रव्यमान मौजूद होता है लेकिन एक अंगूठी के दूसरे उदाहरण में, द्रव्यमान के केंद्र में कोई द्रव्यमान नहीं होता है।]
(2) Its position depends on the shape of the body. It is nearer to the region where more mass is concentrated (because of vector r).[(२) इसकी स्थिति शरीर के आकार पर निर्भर करती है। यह उस क्षेत्र के निकट है जहां अधिक द्रव्यमान केंद्रित है (वेक्टर आर के कारण)।]
(3) For symmetrical bodies having the homogeneous distribution of mass coincides with the centre of symmetry (again think in terms of vector r).[(3) सममित निकायों के लिए बड़े पैमाने पर समरूपता वाले वितरण समरूपता के केंद्र के साथ मेल खाते हैं (फिर से वेक्टर आर के संदर्भ में सोचते हैं)।]
(4) Centre of mass and centre of gravity need not be at the same points (consider a very high mountain and apply the concept of variation of g with height).[(4) द्रव्यमान के केंद्र और गुरुत्वाकर्षण के केंद्र को एक ही बिंदु पर होने की आवश्यकता नहीं है (बहुत ऊंचे पर्वत पर विचार करें और ऊंचाई के साथ जी की भिन्नता की अवधारणा को लागू करें)।]

The motion of Centre of Mass[केंद्र की गति]

Now that we have the position, we extend the concept of the center of mass to velocity and acceleration, and thus give ourselves the tools to describe the motion of a system of particles. Taking a simple time derivative of our expression for x cm we see that:[अब जब हमारे पास स्थिति है, हम द्रव्यमान के केंद्र की अवधारणा को वेग और त्वरण तक बढ़ाते हैं, और इस प्रकार कणों की एक प्रणाली की गति का वर्णन करने के लिए खुद को उपकरण देते हैं। एक साधारण समय व्युत्पन्न x सेमी के लिए हमारी अभिव्यक्ति को देखते हुए हम देखते हैं कि:]
V_cm = m₁v₁+m₂v₂/m₁+m₂
Thus we have a very similar expression for the velocity of the center of mass. Differentiating again, we can generate an expression for acceleration:[इस प्रकार हमारे पास द्रव्यमान के केंद्र के वेग के लिए एक समान अभिव्यक्ति है। फिर से अंतर करते हुए, हम त्वरण के लिए एक अभिव्यक्ति उत्पन्न कर सकते हैं:]
a_cm = m₁a₁+m₂a₂/m₁+m₂
With this set of three equations we have generated the necessary elements of the kinematics of a system of particles.[तीन समीकरणों के इस सेट के साथ हमने कणों की एक प्रणाली कीनेमेटीक्स के आवश्यक तत्वों को उत्पन्न किया है।]
So, (m₁+m₂) a_cm = m₁a₁+m₂a₂
F_cm = F₁+ F₂ + ….
Here, F_cm = M (a_cm)
Here M is the total mass of the system.[यहाँ M सिस्टम का कुल द्रव्यमान है।]
Hence the total mass of the system times the acceleration of its centre of mass is equal to vector sum of all the forces acting on the group of particles.[इसलिए प्रणाली के द्रव्यमान का कुल द्रव्यमान इसके केंद्र के त्वरण कणों के समूह पर कार्य करने वाली सभी शक्तियों के वेक्टर योग के बराबर है।]

Rotational Motion [घूर्णी गति]

Rigid Body:- A rigid body consists of a number of particles confined to a fixed geometrical shape and size in such a way that the distance between any pair of particles always remains constant.[कठोर शरीर: – कठोर शरीर में कई कण होते हैं जो एक निश्चित ज्यामितीय आकार और आकार में इस तरह से सीमित होते हैं कि किसी भी जोड़ी कणों के बीच की दूरी हमेशा स्थिर रहती है।]
Moment of Inertia (Rotational Inertia) I:– Moment of Inertiaof a body, about a given axis, is defined as the sum of the products of the masses of different particles constituting the body and the square of their distances from the axis of rotation. It depends upon two factors[पल की जड़ता (घूर्णी जड़ता) I: – एक जड़ के बारे में एक जड़ता का क्षण, शरीर को विभिन्न कणों के द्रव्यमान के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है जो शरीर के गठन और रोटेशन के अक्ष से उनकी दूरी के वर्ग के रूप में होता है। यह दो कारकों पर निर्भर करता है]
(i) Mass of a body[(i) किसी पिंड का द्रव्यमान]
(ii) Distribution of mass about the axis of rotation[रोटेशन की धुरी के बारे में द्रव्यमान का वितरण]
(iii) Moment of inertia of a body should always be referred to as about a given axis, since it depends upon distribution of mass about that axis.[(iii) किसी निकाय की जड़ता के क्षण को हमेशा किसी दिए गए अक्ष के बारे में पसंद करना चाहिए, क्योंकि यह उस अक्ष के बारे में द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है।]
(iv) It does not depend upon the state of motion of rotating body. It is same whether the body is at rest, rotating slowly or rotating fast about the given axis.[(iv) यह घूर्णन शरीर की गति की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है। यह वही है कि क्या शरीर आराम कर रहा है, धीरे-धीरे घूम रहा है या दिए गए अक्ष के बारे में तेजी से घूम रहा है।]
I = ∑mr²

Rotational Kinetic Energy[घूर्णी गतिज ऊर्जा]

K_r = ½Iω² = ½ mr²ω^2[
So, I = 2K_r/ω²
Radius Gyration:- Radius of gyration of a body about a given axis is that distance, at which if whole of the mass of the body were concentrated, it would have same moment of inertia as that of body.[त्रिज्या युग्मन: – किसी दिए गए अक्ष के बारे में शरीर के युग्मन की त्रिज्या वह दूरी है, जिस पर यदि शरीर के पूरे द्रव्यमान को केंद्रित किया जाता है, तो उसमें जड़ता का वही क्षण होगा जो शरीर का है।]
I = MK²
So, K = √I/M
Again, Radius of gyration of a body about a given axis is defined as the square root of the mean of the squares of distances of various particles of the body from the axis of rotation.[फिर से, किसी दिए गए अक्ष के बारे में एक शरीर के युग्मन के त्रिज्या को रोटेशन के अक्ष से शरीर के विभिन्न कणों की दूरी के वर्गों के माध्य के वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया गया है।]
So, K = √[r₁²+ r₂²+ r₃²+…./n]

Centre of mass for two particle system:-[दो कण प्रणाली के लिए द्रव्यमान का केंद्र: -]

(a) x_CM=(m₁x₁+ m₂x₂)/(m₁+ m₂)
(b) v_CM= (m₁v₁+ m₂v₂)/(m₁+ m₂)
(c) a_CM= (m₁a₁+ m₂a₂)/(m₁+ m₂)
(d) v_CM= dx_CM/dt
(e) a_CM= dv_CM/dt = d²x_CM/dt²

System of mass for many particle system:-[कई कण प्रणाली के लिए द्रव्यमान की प्रणाली: -]

x_CM = ∑m_ix_i/ ∑m_i
Perpendicular axes theorem:- It states that the moment of inertia of a plane lamina, about an axis perpendicular to the plane lamina, is equal to the sum of the moments of inertia of the lamina about two mutually perpendicular axes lying in the plane of lamina and intersecting each other at the point where the perpendicular axis passes through the body.[लंबवत कुल्हाड़ी प्रमेय: – यह बताता है कि एक विमान लामिना की जड़ता का क्षण, विमान लामिना के लिए लंबवत अक्ष के बारे में है, लामिना के विमान में झूठ बोलने वाले दो परस्पर लंब अक्षों के जड़ता के क्षणों के योग के बराबर है। और उस बिंदु पर एक दूसरे को प्रतिच्छेदन करना जहां लंबवत अक्ष शरीर के माध्यम से गुजरता है।]
I = I_x+I_y

Parallel axes theorem:- [समानांतर अक्ष प्रमेय: -]

It states that moment of inertia of a body, about an axis, is equal to the sum of the moment of inertia of the body about a parallel axis through its center of gravity and the product of the mass of body and the square of the distance between the two axes.[? यह बताता है कि एक अक्ष के बारे में शरीर की जड़ता का क्षण, गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के माध्यम से एक समानांतर अक्ष के बारे में शरीर की जड़ता के क्षण के बराबर है और शरीर के द्रव्यमान और वर्ग के उत्पाद के बराबर है। दो अक्षों के बीच की दूरी।]
I = I_g+Mh²
Here, I_g is the moment of inertia of the body about an axis through its center of gravity G.[यहां, आईजी शरीर के जड़त्व का क्षण है जो कि एक गुरुत्वाकर्षण के केंद्र के माध्यम से एक धुरी के बारे में है।]

Moments of Inertia of Various Objects:[विभिन्न वस्तुओं की जड़ता के क्षण:]

Moment of inertia of a particle having mass m:- I = mr^{2[एक द्रव्यमान वाले द्रव्यमान की जड़ता के क्षण: – I = mr2]}
Moment of inertia of a thin rod about an axis passing through its center and perpendicular to its length:-[एक पतली छड़ की जड़ता का क्षण इसके केंद्र से होकर गुजरने वाली एक धुरी के बारे में और इसकी लंबाई के लिए लंबवत: -]
I =Ml²/12

Moment of inertia of a ring about an axis passing through its center and perpendicular to its plane:-[एक रिंग की जड़ता का क्षण उसके केंद्र से गुजरने वाली एक धुरी के बारे में और उसके विमान के लंबवत: -]

(a) About one of its diameters:- I_d = ½ (MR²) [(ए) इसके व्यास के बारे में: – आईडी = About (MR2)]
(b)About a tangent[(b) एक स्पर्शरेखा के बारे में]
(i) Tangent lying in the plane of ring:-I = 3/2 (MR²)[(i) रिंग के विमान में पड़ी स्पर्शरेखा: -I = 3/2 (MR2)]

(ii) Tangent perpendicular to the plane of ring:-I = 2MR^{2[(ii) रिंग के तल पर स्पर्शरेखा लंबवत: -I = 2MR2]}

Moment of inertia of a solid disc:-[एक ठोस डिस्क की जड़ता का क्षण: -]

(a) About an axis passing through its center and perpendicular to its plane:- I = ½ MR^{2[(ए) अपने केंद्र और उसके विमान के लंबवत गुजरने वाले अक्ष के बारे में: – I = axis MR2]}
(b) About one of its diameters:- I_d = ¼ (MR²)[(b) इसके एक व्यास के बारे में: – Id = ¼ (MR2)]
(c) About a tangent:-[(ग) एक स्पर्शरेखा के बारे में: -]
(i) Tangent lying in the plane of disc:-I = 5/4 (MR²)[(i) डिस्क के विमान में पड़ी स्पर्शरेखा: -I = 5/4 (MR2)]
(ii) Tangent perpendicular to the plane of disc:- I = 3/2 (MR²)[(ii) डिस्क के तल पर स्पर्शरेखा लंबवत: – I = 3/2 (MR2)]

Moment of inertia of an annular disc:-[एक कुंडलाकार डिस्क की जड़ता का क्षण: -]

(a) About an axis passing through the center and perpendicular to the plane:-[(ए) विमान के केंद्र और लंब से गुजरने वाली एक अक्ष के बारे में: -]
(i) For a solid disc:- I = ½ MR^{2[(i) ठोस डिस्क के लिए: – I = solid MR2]}
(ii) For ring:- I = MR^{2[(ii) रिंग के लिए: – I = MR2]}
(b) About any of its diameter:-[(b) इसके किसी भी व्यास के बारे में: -]
(i) For a solid disc:- I_d = ¼ (MR²) [(i) ठोस डिस्क के लिए: – Id = MR (MR2)]
(ii) For ring:- I_d = ½ MR^{2[(ii) रिंग के लिए: – Id =: MR2]}
(c) About a tangent:-[(ग) एक स्पर्शरेखा के बारे में: -]
(i) Tangent lying in the plane of disc:-[(i) डिस्क के समतल में स्पर्शरेखा: -]
(1)For a solid disc:-I = 5/4 MR^{2[(1) एक ठोस डिस्क के लिए: -I = 5/4 MR2]}
(2)For a ring:-I = 3/2 MR^{2[(2) एक रिंग के लिए: -I = 3/2 MR2]}
(ii) Tangent perpendicular to the plane of the disc:-[(ii) डिस्क के तल पर स्पर्शरेखा लंबवत: -]
(1) For a solid disc:- I = 3/2 MR^{2[(1) ठोस डिस्क के लिए: – I = 3/2 MR2]}
(2) For a Ring:- I = 2MR^{2[(2) रिंग के लिए: – I = 2MR2]}
Torque ( $\tau$ ) in vector form:-[वेक्टर रूप में टोक़ (): -]
Moment of inertia (I) and Torque ( $\tau$ ?):- $\tau$ ? = Iα[जड़ता का क्षण (I) और टोक़ (?): -? = Iα]
Here α is the angular acceleration.[यहाँ α कोणीय त्वरण है।]

Newton’s law in rotational motion:-[घूर्णी गति में न्यूटन का नियम: -]

(a) First Law:- It states that everybody continues in its state of rest or of uniform rotational motion about a given axis unless it is completed by some external unbalanced torque to change that state.[(ए) पहला कानून: – यह बताता है कि हर कोई किसी दिए गए अक्ष के बारे में अपने आराम या एक समान घूर्णी गति के राज्य में जारी रखता है जब तक कि उस राज्य को बदलने के लिए कुछ बाहरी असंतुलित टोक़ द्वारा पूरा नहीं किया जाता है।]
(b) Second Law:- It states that the rate of change of angular momentum of a body is directly proportional to the impressed torque and takes place in the direction of torque. Mathematically, $\tau$ = Iα.[(b) दूसरा नियम: – यह बताता है कि किसी पिंड के कोणीय गति के परिवर्तन की दर सीधे प्रभावित टॉर्क के समानुपाती होती है और टॉर्क की दिशा में होती है। गणितीय रूप से, = Iα।]
(c) Third Law:- It states that to every torque there is an equal and opposite torque.[(c) तीसरा कानून: – यह बताता है कि प्रत्येक टोक़ में एक समान और विपरीत टोक़ होता है।]

Angular Momentum (L):-[कोणीय गति (L): -]

Moment of Inertia (I) and Angular momentum (L):-[पल की जड़ता (I) और कोणीय गति (L): -]
Law of conservation of angular momentum:- The net angular momentum of an isolated system (no external torque), always remains constant.[कोणीय गति के संरक्षण का नियम: – एक पृथक प्रणाली (कोई बाहरी टोक़) का शुद्ध कोणीय गति हमेशा स्थिर रहता है।]
I₁ω₁=I₂ω₂

-: Practice Questions[अभ्यास प्रश्न] :-

Question for practice:[अभ्यास के लिए प्रश्न:]

What do you understand by the centre of mass?[द्रव्यमान के केंद्र से आप क्या समझते हैं?]
Explain how does centre of mass gets affected after the removal of a part of body?[शरीर के एक हिस्से को हटाने के बाद द्रव्यमान का केंद्र कैसे प्रभावित होता है?]
Explain the centre of mass for continuous distribution?[निरंतर वितरण के लिए द्रव्यमान के केंद्र की व्याख्या करें?]
Explain the centre of mass for the two-particle system?[दो-कण प्रणाली के लिए द्रव्यमान के केंद्र की व्याख्या करें?]
How a moment of inertia and centre of mass is interrelated?[जड़ता और द्रव्यमान के केंद्र का एक क्षण परस्पर कैसे जुड़ा होता है?]

Laws of Motion, Force, Work, Energy & Power, Centre of Mass-2[मोशन, फोर्स, वर्क, एनर्जी एंड पावर, सेंटर ऑफ मास -2]

Centre of mass[द्रव्यमान केंद्र]

Centre of Mass for a Continuous Distribution[एक सतत वितरण के लिए द्रव्यमान का केंद्र]

The motion of Centre of Mass[केंद्र की गति]

Rotational Motion [घूर्णी गति]

Rotational Kinetic Energy[घूर्णी गतिज ऊर्जा]

Centre of mass for two particle system:-[दो कण प्रणाली के लिए द्रव्यमान का केंद्र: -]

System of mass for many particle system:-[कई कण प्रणाली के लिए द्रव्यमान की प्रणाली: -]

Parallel axes theorem:- [समानांतर अक्ष प्रमेय: -]

Moments of Inertia of Various Objects:[विभिन्न वस्तुओं की जड़ता के क्षण:]

Moment of inertia of a solid disc:-[एक ठोस डिस्क की जड़ता का क्षण: -]

Moment of inertia of an annular disc:-[एक कुंडलाकार डिस्क की जड़ता का क्षण: -]

Newton’s law in rotational motion:-[घूर्णी गति में न्यूटन का नियम: -]

Angular Momentum (L):-[कोणीय गति (L): -]

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