3. LCM and HCF (एलसीएम और एचसीएफ)

lcm and hcf

Introduction (परिचय)

  • The full forms of LCM and HCF are, Highest Common factor and Least Common Multiple, respectively. (के पूर्ण रूप एच.सी.एफ. और एल.सी.एम. क्रमशः, सबसे आम कॉमन फैक्टर और कम से कम कॉमन मल्टीपल हैं।)
  • The H.C.F. defines the greatest factor present in between given two or more numbers, whereas L.C.M. defines the least number which is exactly divisible by two or more numbers. H.C.F. is also called the greatest common factor and LCM is also called the Least Common Divisor.(एच। सी। एफ। दिए गए दो या अधिक संख्याओं के बीच मौजूद सबसे बड़े कारक को परिभाषित करता है, जबकि L.C.M. कम से कम संख्या को परिभाषित करता है जो दो या अधिक संख्याओं से बिल्कुल विभाज्य है। एच। सी। एफ। को सबसे बड़ा सामान्य कारक भी कहा जाता है और LCM को Least Common Divisor भी कहा जाता है।)
  • To find H.C.F. and L.C.M. we have two important methods which are Prime factorisation method and division method. We have learned both the methods in our earlier classes. (खोजने के लिए एच.सी.एफ. और एल.सी.एम. हमारे पास दो महत्वपूर्ण विधियां हैं जो प्रधान कारक विधि और विभाजन विधि हैं। हमने अपनी पिछली कक्षाओं में दोनों विधियों को सीखा है।)
  • The shortcut method to find both H.C.F. and L.C.M. is division method. Let us learn the relationship between HCF and LCM with the help of formula here. (दोनों को खोजने के लिए शॉर्टकट विधि एच.सी.एफ. और एल.सी.एम. विभाजन विधि है। यहां सूत्र की मदद से एचसीएफ और एलसीएम के बीच के संबंध को जानें) Also, we will solve some problems based on these two concepts to understand better. (साथ ही, हम बेहतर समझने के लिए इन दो अवधारणाओं के आधार पर कुछ समस्याओं को हल करेंगे।)
  • We know that the factors of range|variety} ar actual divisors of that specific number. Let’s proceed to the very best common divisor (H.C.F.) and therefore the least whole number (L.C.M.).(हम जानते हैं कि किसी संख्या के कारक उस विशेष संख्या के सटीक विभाजक होते हैं। आइए उच्चतम सामान्य कारक (H.C.F) और कम से कम सामान्य एकाधिक (L.C.M.) पर जाएं।)
  • HCF (Highest Common Factor) (HCF (उच्चतम आम कारक)
  • As the rules of arithmetic dictate, the best factor or the gcd of 2 or a lot of positive numbers happens to be the biggest positive integer that divides the numbers while not deed a remainder.(जैसा कि गणित के नियम तय करते हैं, सबसे बड़ा सामान्य भाजक या दो या अधिक धनात्मक पूर्णांक का gcd सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक होता है जो संख्याओं को विभाजित करता है, शेष को छोड़े बिना।)
  • For example, take 8 and 12. The H.C.F. of 8 and 12 will be 4 because the highest number that can divide both 8 and 12 is 4. (उदाहरण के लिए, 8 और 12 को लें। H.C.F. 8 और 12 की संख्या 4 होगी क्योंकि उच्चतम संख्या जो 8 और 12 दोनों को विभाजित कर सकती है 4 है।)
  • LCM (Least Common Multiple) (LCM (कम से कम आम बहु)
    In arithmetic, the least common multiple or LCM of two numbers say a and b, is denoted as LCM (a,b). And the LCM is the smallest or least positive integer that is divisible by both a and b. (अंकगणित में, दो संख्याओं में से कम से कम सामान्य बहु या LCM को a और b कहते हैं, को LCM (a, b) के रूप में निरूपित किया जाता है। और LCM सबसे छोटा या कम से कम धनात्मक पूर्णांक है जो a और b दोनों से विभाज्य है) For example, let us take two positive integers 4 and 6. (उदाहरण के लिए, हम दो धनात्मक पूर्णांक 4 और 6 लेते हैं।)
  • Multiples of 4 are: (4 के गुणक हैं:) 4,8,12,16,20,24…
  • Multiples of 6 are: (6 के गुणक हैं:) 6,12,18,24….
  • The common multiples for 4 and 6 are 12,24,36,48…and so on. (4 और 6 के लिए सामान्य गुणक 12,24,36,48 हैं … और इसी तरह।) The least common multiple in that lot would be 12. Let us now try to find out the LCM of 24 and 15.(उस लॉट में सबसे कम आम कई होंगे। आइए अब हम 24 और 15 के एलसीएम का पता लगाने की कोशिश करें।)

Formula (सूत्र)

HCF and LCM Formula (एचसीएफ और एलसीएम फॉर्मूला)

The formula which involves both HCF and LCM is: (सूत्र जिसमें HCF और LCM दोनों शामिल हैं:)

Product of Two numbers (दो नंबरों का उत्पाद) = (HCF of the two numbers) (दोनों संख्याओं का HCF) x (LCM of the two numbers) (दो नंबर का एलसीएम)
  • Say, A and B are the two numbers, then as per the formula; (कहो, ए और बी दो नंबर हैं, फिर सूत्र के अनुसार)
    A x B = H.C.F.(A,B) x L.C.M.(A,B)
  • We can also write the above formula in terms of HCF and LCM, such as: (हम उपरोक्त सूत्र को HCF और LCM के संदर्भ में भी लिख सकते हैं, जैसे:)
  • H.C.F. of Two numbers (एच। सी। एफ। दो नंबर का) = Product of Two numbers/L.C.M of two numbers (दो संख्याओं का उत्पाद / L.C.M दो संख्याओं का)
  • L.C.M of two numbers ( दो संख्याओं का एल.सी.एम.) = Product of Two numbers/H.C.F. of Two numbers (दो नंबरों का उत्पाद / एच.सी.एफ. दो नंबर का)

Prime Factorisation for HCF (एचसीएफ के लिए मुख्य कारक)

  • Take an example of finding the highest common factor of 144, 104 and 160. (144, 104 और 160 के उच्चतम सामान्य कारक को खोजने का एक उदाहरण लें।)
    Now let us write the prime factors of 144, 104 and 160. (अब हम 144, 104 और 160 के मुख्य कारकों को लिखते हैं।)
    144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
    104 = 2 × 2 × 2 × 13
    160 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 5
    The common factors of 144, 104 and 160 are 2 × 2 × 2 = 8
    Therefore, HCF (144, 104, 160) = 8
  • (144, 104 और 160 के सामान्य कारक 2 × 2 × 2 = 8 हैं
    इसलिए, एचसीएफ (144, 104, 160) = 8)

Division method to find the HCF (Shortcut method) (एचसीएफ (शॉर्टकट विधि) खोजने के लिए डिवीजन विधि)

Steps to find the HCF of any given numbers; (किसी भी संख्या के एचसीएफ को खोजने के लिए कदम;)

1) Larger number/ Smaller Number (बड़ी संख्या / छोटी संख्या)
2) The divisor of the above step / Remainder (उपरोक्त चरण / शेष का विभाजक)
3) The divisor of step 2 / remainder. Keep doing this step till R = 0(Zero). (चरण 2 / शेष का विभाजक। इस चरण को R = 0 (शून्य) तक करते रहें।)
4) The last step’s divisor will be HCF. (अंतिम चरण का विभाजक HCF होगा)

The above steps can also be used to find the HCF of more than 3 numbers. (उपरोक्त चरणों का उपयोग 3 से अधिक संख्याओं के HCF को खोजने के लिए भी किया जा सकता है।)
Example: Find the HCF of 144 and 160 by division method. (उदाहरण: विभाजन विधि द्वारा 144 और 160 के HCF ज्ञात कीजिए।)
Since 160>144, so the dividend will be 160 and the divisor will be 144.
By using the division method, we get: (चूंकि 160> 144 है, इसलिए लाभांश 160 होगा और भाजक 144 होगा।
विभाजन विधि का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:)

HCF-and-LCM-02
  • Hence, we can see here 16 is the highest number which divides 160 and 144.
    Therefore, HCF (144, 160) = 16 (इसलिए, हम यहां देख सकते हैं कि 16 उच्चतम संख्या है जो 160 और 144 को विभाजित करती है।इसलिए, एचसीएफ (144, 160) = 16)

LCM By Prime Factorisation (प्राइम फैक्टर द्वारा एलसीएम)

  • To calculate the LCM of two numbers 60 and 45. Out of other ways, one way to find the LCM of given numbers is as below: (दो नंबर 60 और 45 के एलसीएम की गणना करने के लिए। अन्य तरीकों में से, दिए गए नंबरों के एलसीएम को खोजने का एक तरीका इस प्रकार है:)
  • List the prime factors of each number first. (प्रत्येक संख्या के प्रमुख कारकों को पहले सूचीबद्ध करें।)
    60 = 2 × 2 x 3 × 5
    45 = 3 × 3 × 5
  • Then multiply each factor the most number of times it occurs in any number. (फिर प्रत्येक कारक को किसी भी संख्या में सबसे अधिक बार गुणा करें।)
  • If the same multiple occurs more than once in both the given numbers, then multiply the factor the most number of times it occurs.
    The occurrence of Numbers in the above example: (यदि दिए गए दोनों नंबरों में एक ही मल्टीपल एक से अधिक बार होता है, तो सबसे अधिक बार होने वाले कारक को गुणा करें।
    उपरोक्त उदाहरण में संख्याओं की घटना:)
    2: two times (दो बार)
    3: two times (दो बार)
    5: one time (एक बार)
    LCM = 2 × 2 x 3 × 3 × 5 = 180

LCM by Division Method (डिवीजन विधि द्वारा एलसीएम)

  • Let us see with the same example, which we used to find the LCM using prime factorisation.
  • Solve LCM of (60,45) by division method. (आइए हम उसी उदाहरण के साथ देखें, जिसका उपयोग हम मुख्य कारक का उपयोग करके LCM को खोजने के लिए करते थे।
    विभाजन विधि द्वारा (60,45) के LCM को हल करें।)
  • Therefore, LCM of 60 and 45 = 2 × 2 x 3 × 3 × 5 = 180 (इसलिए, एलसीएम 60 और 45 = 2 × 2 x 3 × 3 × 5 = 180)
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Practice Question (अभ्यास प्रश्न)

  1. Find the Highest Common Factor of 25, 35 and 45. (25, 35 और 45 के उच्चतम आम कारक का पता लगाएं।)
  2. Find the Least Common Multiple of 36 and 44. (36 और 44 के लिस्ट कॉमन मल्टीपल का पता लगाएं।)
  3. What is the greatest number which divides 639, 1065 and 1491 exactly? (सबसे बड़ी संख्या क्या है जो 639, 1065 और 1491 को बिल्कुल विभाजित करती है?)
  4. . What is the H.C.F. of 4/9, 10/21 and 20/63? ( क्या है एच.सी.एफ. of 4/9, 10/21 और 20/63?)
  5. The HCF of two numbers is 29 & their sum is 174. The possible numbers are (दो संख्याओं का HCF 29 है और उनका योग 174 है। संभावित संख्याएँ हैं)

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