2. Indices and Surds (सूचकांकों और करणी)

Surds (करणी)

  • In Mathematics, Indices and surds are the values in square root that can’t be in addition simplified into whole numbers or integers.[गणित में, सर्ड वर्गाकार मूल में वे मान होते हैं जिन्हें पूरी संख्या या पूर्णांक में सरल नहीं बनाया जा सकता।]
  • Surds are irrational numbers. The examples of surds are √2, √3, √5, etc., as these values can’t be similarly simplified [सर्ड अपरिमेय संख्या होती हैं। Surds के उदाहरण √2, of3, etc.5, आदि हैं, क्योंकि इन मूल्यों को और अधिक सरल नहीं किया जा सकता है]

Surds Definition (करणी परिभाषा)

  • Surds are the square roots (√) of numbers that can’t be simplified into a whole or rational number.[सर्ड संख्याओं की वर्गमूल जड़ें (roots) हैं जिन्हें पूर्ण या तर्कसंगत संख्या में सरल नहीं किया जा सकता है।]
  • It can’t be precisely represented in a fraction.[यह एक अंश में सटीक रूप से प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है।]
  • In different words, a surd is a root of the complete quantity that has an irrational value.[दूसरे शब्दों में, एक सर्ड पूरी संख्या का एक मूल है जिसमें एक अपरिमेय मान होता है।]
  • Consider an example, √2 ≈ 1.414213.[एक उदाहरण पर विचार करें, an2, 1.414213।]
  • It is greater correct if we depart it as a surd √2.[यदि हम इसे सर्ड we2 के रूप में छोड़ दें तो यह अधिक सटीक है।]

Types of Surds (करणी के प्रकार)

The distinctive kinds of surds are as follows: [विभिन्न प्रकार के surds इस प्रकार हैं:]

  • Simple Surds – A surd that has only one phrase is known as a simple surd. Example: √2, √5, … [एक ऐसा surd जिसका केवल एक शब्द होता है उसे एक easy surd कहा जाता है। उदाहरण: √2, ,5, …]
  • Pure Surds – Surds which are absolutely irrational. Example: √3 [जो पूरी तरह से तर्कहीन हैं। उदाहरण: √3]
  • Similar Surds – The surds having the identical frequent surds factor [वही सामान्य सर्ड्स कारक वाले सर्ड]
  • Mixed Surds – Surds that are now not totally irrational and can be expressed as a product of a rational quantity and an irrational quantity [ऐसे सर्ड्स जो पूरी तरह से तर्कहीन नहीं हैं और उन्हें एक तर्कसंगत संख्या और एक अपरिमेय संख्या के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है]
  • Compound Surds – An expression which is the addition or subtraction of two or greater surds [एक अभिव्यक्ति जो दो या अधिक सर्डों का जोड़ या घटाव है]
  • Binomial Surds –  A surd that is made of two different surds.[एक ऐसा सर्ड जो दो अन्य सर्डों से बना होता है]
Rule 1: नियम 1:
a×b‾‾‾‾‾√=a‾√×b‾√

Example: उदाहरण:

To simplify √18 (सरल करने के लिए)

18 = 9 x 2 = 32 x 2, since 9 is the greatest perfect square factor of 18. (चूंकि 9 18 का सबसे बड़ा सही वर्ग कारक है।)

Therefore, √18 = √(32 x 2) (इसलिए,)

= √32 x √2

= 3 √2

Rule 2: (नियम २)
ab‾‾√=a√b√

Example: उदाहरण:

√(12 / 121) = √12 / √121

=√(22 x 3) / 11

=√22 x √3 / 11

= 2√3 / 11

Rule 3: (नियम 3)
ba√=ba√×a√a√=ba√a

You can rationalize the denominator by multiplying the numerator and denominator by the denominator. (आप हर को गुणक और हर के गुणक को हर से गुणा कर सकते हैं।)

Example: उदाहरण:

Rationalise (युक्तिसंगत)

5/√7

Multiply numerator and denominator by √7 (गुणा अंश और हर के द्वारा)

5/√7 = (5/√7) x (√7/√7)

= 5√7/7

Rule 4: (नियम 4)

ac√±bc√=(a±b)c√

Example: (उदाहरण:)

To simplify, सरल करने के लिए,

5√6 + 4√6

5√6 + 4√6 = (5 + 4) √6

by the rule नियम से

= 9√6

Rule 5: नियम 5:
ca+bn√

Multiply top and bottom by (ऊपर और नीचे से गुणा करें) a-b √n

This rule enables us to rationalise the denominator. (यह नियम हमें हर को युक्तिसंगत बनाने में सक्षम बनाता है)

Example: उदाहरण:

To Rationalise को युक्तिसंगत बनाना है
32+2√=32+2√×2−2√2−2√=6−32√4−2 =6−32√2

Rule 6: नियम 6:
ca−bn√

This rule enables you to rationalise the denominator. (यह नियम आपको भाजक को युक्तिसंगत बनाने में सक्षम बनाता है।)

Multiply top and bottom by a + b√n (ऊपर और नीचे से गुणा करें)

Example:उदाहरण:

To Rationalise को युक्तिसंगत बनाना है
32−2√=32−2√×2+2√2+2√=6+32√4−2 =6+32√

  • Index (indices) in Maths is the strength or exponent which is raised to a number or a variable.[मैथ्स में इंडेक्स (सूचकांक) वह शक्ति या प्रतिपादक है जिसे एक संख्या या एक चर में उठाया जाता है।]
  • For example, in number 24, four is the index of two [उदाहरण के लिए, संख्या 24 में, four 2 का सूचकांक है।)
  • The plural shape of index is indices.[सूचकांक का बहुवचन रूप सूचकांक है।]
  • In algebra, we come throughout constants and variables.[बीजगणित में, हम निरंतर और चर भर में आते हैं।]
  • The constant is a value which can’t be changed.[स्थिरांक एक मूल्य है जिसे बदला नहीं जा सकता है।]
  • Whereas a variable extent can be assigned any quantity or we can say its value can be changed.[जबकि एक परिवर्तनीय मात्रा को किसी भी संख्या को सौंपा जा सकता है या हम कह सकते हैं कि इसका मूल्य बदला जा सकता है।]
  • In algebra, we deal with indices in phrases of numbers.[बीजगणित में, हम संख्या के संदर्भ में सूचकांकों से निपटते हैं।]
  • Let us study the laws/rules of the indices alongside with formulation and solved examples.[आइए हम सूत्र और हल किए गए उदाहरणों के साथ सूचकांकों के नियम / नियम जानें।]

Indices Definition (सूचकांक परिभाषा)

  • A quantity or a variable might also have an index.[एक संख्या या एक चर में एक सूचकांक हो सकता है।]
  • Index of a variable (or a constant) is a value that is raised to the power of the variable.[एक चर (या स्थिर) का सूचकांक एक मूल्य है जो चर की शक्ति के लिए उठाया जाता है।]
  • The indices are additionally acknowledged as powers or exponents.[सूचकांकों को शक्तियों या प्रतिपादकों के रूप में भी जाना जाता है।]
  • It indicates the range of instances a given wide variety has to be multiplied. It is represented in the form: [ यह दर्शाता है कि किसी दी गई संख्या को गुणा करना है। इसे फॉर्म में दर्शाया गया है:]

am = a × a × a ×……× a (m times) 

  • Here, a is the base and m is the index. (यहाँ, एक आधार है और एम सूचकांक है)
  • The index says that a particular number (or base) is to be multiplied by itself, the number of times equal to the index raised to it. It is a compressed method of writing big numbers and calculations. (इंडेक्स कहता है कि एक विशेष संख्या (या आधार) को खुद से गुणा करना है, जो उस पर उठाए गए इंडेक्स के बराबर गुना है। यह बड़ी संख्या और गणना लिखने की एक संकुचित विधि है।)
  • Example: 23 = 2 × 2 × 2 = 8
  • In the example, 2 is the base and 3 is the index. (उदाहरण में, 2 आधार है और 3 सूचकांक है।)

Laws of Indices (सूचकांक का कानून)

  • There are some fundamental rules or laws of indices which are necessary to understand before we start dealing with indices. These laws are used while performing algebraic operations on indices and while solving the algebraic expressions, including it. (सूचकांकों के कुछ मौलिक नियम या कानून हैं जिन्हें समझने से पहले हमें सूचकांकों से निपटना आवश्यक है। इन कानूनों का उपयोग सूचकांकों पर बीजीय संचालन करते समय और बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को हल करते समय किया जाता है, जिसमें यह भी शामिल है।)
  • Rule 1: If a constant or variable has index as ‘0’, then the result will be equal to one, regardless of any base value. (यदि किसी स्थिरांक या चर में ’0 ‘के रूप में सूचकांक है, तो परिणाम किसी आधार मूल्य के बिना, एक के बराबर होगा।)
  • a0 = 1

  • Example: 50 = 1, 120 = 1, y0= 1
  • Rule 2: If the index is a negative value, then it can be shown as the reciprocal of the positive index raised to the same variable. (यदि सूचकांक एक नकारात्मक मूल्य है, तो इसे उसी चर के लिए उठाए गए सकारात्मक सूचकांक के पारस्परिक के रूप में दिखाया जा सकता है।)
  • a-p = 1/ap

  • Example: 5-1 = ⅕, 8-3=1/83
  • Rule 3: To multiply two variables with the same base, we need to add its powers and raise them to that base. (एक ही आधार के साथ दो चर गुणा करने के लिए, हमें इसकी शक्तियों को जोड़ने और उन्हें उस आधार पर बढ़ाने की आवश्यकता है।)
  • ap.aq = ap+q

  • Example: 52.53 = 52+3 = 55
  • Rule 4: To divide two variables with the same base, we need to subtract the power of denominator from the power of numerator and raise it to that base. (एक ही आधार के साथ दो चर को विभाजित करने के लिए, हमें अंश की शक्ति से हर की शक्ति को घटाना और उस आधार पर उठाना होगा।)
  • ap/aq = ap-q

  • Example: 104/102 = 104-2 = 102
  • Rule 5: When a variable with some index is again raised with different index, then both the indices are multiplied together raised to the power of the same base. (जब कुछ सूचकांक के साथ एक चर को फिर से अलग-अलग सूचकांक के साथ उठाया जाता है, तो दोनों सूचकांक एक साथ एक ही आधार की शक्ति से गुणा किए जाते हैं।)
  • (ap)q = apq

  • Example: (82)3 = 82.3 = 86
  • Rule 6: When two variables with different bases, but same indices are multiplied together, we have to multiply its base and raise the same index to multiplied variables. (जब अलग-अलग आधारों के साथ दो चर होते हैं, लेकिन एक ही सूचकांक को एक साथ गुणा किया जाता है, तो हमें इसके आधार को गुणा करना होगा और उसी सूचकांक को गुणा चर तक उठाना होगा।)
  • ap.bp = (ab)p

  • Example: 32.52 = (3 x 5)2 = 152
  • Rule 7: When two variables with different bases, but same indices are divided, we are required to divide the bases and raise the same index to it. (जब अलग-अलग आधारों के साथ दो चर होते हैं, लेकिन समान सूचकांक विभाजित होते हैं, तो हमें आधारों को विभाजित करने और उसी सूचकांक को ऊपर उठाने की आवश्यकता होती है।)
  • ap/bp = (a/b)p

  • Example: 32/52 = (⅗)2
  • Rule 8: An index in the form of a fraction can be represented as the radical form. (अंश के रूप में एक सूचकांक को मूल रूप में दर्शाया जा सकता है।)
  • ap/q = q√ap

  • Example: 61/2 = √6

Practice Question (अभ्यास करें)

  1. 52x-2=625, find x (x खोजें)
  2. .If 17x = 4913, find the value of 22x-1.(का मान ज्ञात करें।)
  3. If 52x= 15625, find x2.(खोजें)
  4. If 2x × 8(1/4) = 2(1/4) then find the value of x (का मान ज्ञात करें।)
  5. If 9x – 9x – 1 = 648, then find the value of xx

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