12. Area and Volume (क्षेत्र और मात्रा)

volume
  • The term Area plays a vital role in contemporary mathematics. The area is the quantity that shows the amount of space occupied by a two-dimensional figure or shape or planar lamina, in the plane. (यह क्षेत्र समकालीन गणित में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। क्षेत्र वह मात्रा है जो विमान में द्वि-आयामी आकृति या आकृति या प्लेनर लैमिना द्वारा घेरे हुए स्थान की मात्रा को दर्शाता है)
  • In simple words, the area can be defined as the measure (the amount) of cloth or material with a thickness provided that would be required to construct a model of the shape or the necessary amount of paint to cover the surface of the shape with a single layer, i.e. one coat. (सरल शब्दों में, क्षेत्र को एक मोटाई के साथ कपड़े या सामग्री के माप (राशि) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो आकार के एक मॉडल के निर्माण के लिए आवश्यक होगा या आकृति के साथ कवर करने के लिए पेंट की आवश्यक मात्रा एक परत, यानी एक कोट)
  • It is the two-dimensional representation of the length of a curve or the volume of a solid, where length is a one-dimensional concept and the volume is a three-dimensional related concept. (यह एक वक्र की लंबाई या एक ठोस की मात्रा का दो-आयामी प्रतिनिधित्व है, जहां लंबाई एक-आयामी अवधारणा है और वॉल्यूम एक तीन-आयामी संबंधित अवधारणा है।)
  • In pure mathematics, the realm of various shapes is measured by comparison the form to squares, that have a set size. we will notice the realm of easy and sophisticated shapes victimization bound specific strategies.(ज्यामिति में, विभिन्न आकारों के क्षेत्र को आकार की तुलना वर्गों से करके मापा जा सकता है, जिनका एक निश्चित आकार है। हम कुछ विशिष्ट विधियों का उपयोग करके सरल और जटिल आकृतियों का क्षेत्र पा सकते हैं।)

1. Area of Simple Shapes (सरल आकृतियों का क्षेत्र)

  • In geometry, the area of shapes like quadrilaterals, circle that means 2d shapes can be found by counting the number of squares on a sheet of paper with grids (square shaped) and using simple formulas. These are explained in detail in the below sections, along with the necessary examples. (ज्यामिति में, चतुर्भुज, वृत्त जैसे आकार का क्षेत्र अर्थात 2d आकृतियों को वर्ग की संख्या को ग्रिड (चौकोर आकार) के साथ शीट पर गिनकर और सरल सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है। इन्हें आवश्यक उदाहरणों के साथ, नीचे के खंडों में विस्तार से बताया गया है।)

2. Area of Complex Shapes (जटिल आकार का क्षेत्र)

  • Area of complex shapes can be found by splitting them into a group of similar simple shapes such as triangles, squares, rectangle and so on. The complex shapes are those shapes whose boundary is defined by joining several line segments. (जटिल आकृतियों का क्षेत्र उन्हें समान सरल आकृतियों के समूह में विभाजित करके पाया जा सकता है जैसे कि त्रिकोण, वर्ग, आयत और इतने पर। जटिल आकृतियाँ वे आकृतियाँ होती हैं जिनकी सीमा को कई रेखाखंडों से जोड़कर परिभाषित किया जाता है।)

3.Area of Two-Dimensional Shapes (दो-आयामी आकार का क्षेत्र)

The area of a plane figure is outlined because the quantity of house coated by the form in an exceedingly two-dimensional plane.(द्वि-आयामी आकृति के क्षेत्र को दो-आयामी विमान में आकृति द्वारा कवर किए गए स्थान की मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है।)
triangle base heightTriangle
Area = ½ × b × h
b = base
h = vertical height
 squareSquare
Area = a2
a = length of side
rectangleRectangle
Area = w × h
w = width
h = height
 parallelogramParallelogram
Area = b × h
b = base
h = vertical height
trapezoidTrapezium
Area = ½(a+b) × h
h = vertical height
 circleCircle
Area = π × r2
Circumference = 2 × π × r
r = radius
ellipseEllipse
Area = πab
 sectorSector
Area = ½ × r2 × θ
r = radius
θ = angle in radians

Volume (मात्रा)

  • Volume is a mathematical quantity that shows the amount of three-dimensional space occupied by an object. Volume is also termed as capacity, sometimes. For example, the amount of water, a cylindrical jar can occupy is measured by its volume. (वॉल्यूम एक गणितीय मात्रा है जो किसी वस्तु द्वारा कब्जा किए गए तीन आयामी स्थान की मात्रा को दर्शाता है। वॉल्यूम को कभी-कभी क्षमता भी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, पानी की मात्रा, एक बेलनाकार जार पर कब्जा कर सकते हैं इसकी मात्रा द्वारा मापा जाता है।)
  • Different shapes have totally different volumes. In 3d pure mathematics, we’ve got studied the varied shapes and solids like a cube, cuboid, cylinder, cone, etc., that area unit outlined in 3 dimensions. For of these shapes, we tend to area unit getting to learn to seek out the amount. (विभिन्न आकृतियों के अलग-अलग खंड होते हैं। 3 डी ज्यामिति में, हमने विभिन्न आकृतियों और ठोस पदार्थों जैसे घन, घनाभ, सिलेंडर, शंकु आदि का अध्ययन किया है, जिन्हें तीन आयामों में परिभाषित किया गया है। इन सभी आकृतियों के लिए, हम वॉल्यूम खोजने के लिए सीखने जा रहे हैं।)
  • Volume is a quantity that specifies the space occupied by a three-dimensional shape or object. The volume of a cube is equal to the cube of its edge length (side3). For example, if the edge length of the cube is 5 cm, then its volume will be: (वॉल्यूम एक मात्रा है जो तीन-आयामी आकृति या ऑब्जेक्ट द्वारा कब्जा किए गए स्थान को निर्दिष्ट करता है। किसी घन का आयतन उसकी धार लंबाई (साइड 3) के घन के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, यदि घन की धार लंबाई 5 सेमी है, तो इसकी मात्रा होगी:)
  • V = 53 cm3 = 125 cubic cm
  • Volume of a solid is measured in cubic units. For example, if dimensions are given in meters, then the volume will be in cubic meters. This is the standard unit of volume in the International System of Units (SI). Similarly, other units of volume are cubic centimeters, cubic foot, cubic inches, etc. (घन इकाइयों में एक ठोस का आयतन मापा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि आयाम मीटर में दिए गए हैं, तो वॉल्यूम घन मीटर में होगा। यह इंटरनेशनल सिस्टम ऑफ यूनिट्स (SI) में वॉल्यूम की मानक इकाई है। इसी प्रकार, आयतन की अन्य इकाइयाँ घन सेंटीमीटर, घन फुट, घन इंच, आदि हैं।)

Volume of liquid (तरल का आयतन)

  • Basically, the volume of a liquid is measured in liters, where 1 liter is equal to 1000 cubic centimeters. (मूल रूप से, एक तरल की मात्रा लीटर में मापा जाता है, जहां 1 लीटर 1000 घन सेंटीमीटर के बराबर होता है।)
  • 1 liter = 1000 cubic centimeters = 0.001 cubic meters (1 लीटर = 1000 घन सेंटीमीटर = 0.001 घन मीटर)
  • Hence,
  • 1 cubic meters = 1000 liters
  • Also, to measure the volume of a small amount of liquid, we use milliliters. (इसके अलावा, थोड़ी मात्रा में तरल की मात्रा को मापने के लिए, हम मिलीलीटर का उपयोग करते हैं।)
  • 1 milliliters = 0.001 liter = 1 cubic centimeters
  • Volume of liquid is also commonly measured in gallons. (गैलन में तरल का आयतन भी सामान्यतः मापा जाता है।)
  • 1 liter = 0.264172 US liquid gallon
Name of geometrical shape (ज्यामितीय आकार का नाम)
Volume formula (आयतन सूत्र)
Cube (घनक्षेत्र)V = a3, where a is the edge-length of cube (जहां घन की धार-लंबाई है)
Cuboid (घनाभ)V = length x width x height
Cone (शंकु)

V = ⅓ πr²h

Where r is the radius and h is the height of cone (जहाँ r त्रिज्या है और h शंकु की ऊँचाई है)

Cylinder (सिलेंडर)

V = πr²h,

Where r is the radius and h is the height of cylinder (जहाँ r त्रिज्या है और h बेलन की ऊँचाई है)

Sphere (क्षेत्र)

V = 4/3 πr3,

Where r is the radius of sphere (जहाँ r गोले की त्रिज्या है)

Volume of Frustum (फ्रस्ट्रम की मात्रा)

πh/3 (R2+r2+Rr)

Where ‘R’ and ‘r’ are radius of base and top of frustum (जहां ius R ’और’ r ’आधार की त्रिज्या और फ्रुम के ऊपर हैं)

Volume of Prism (प्रिज्म का आयतन)Base Area x Height
Volume of Pyramid (पिरामिड का आयतन)⅓ (Area of base) (Height)
Volume of Hemisphere (गोलार्ध का आयतन)

⅔ (πr3)

Where r is the radius (जहां r त्रिज्या है)

Practice Questions (प्रश्नों का अभ्यास करें)

  1. Calculate the volume of a triangular prism, whose triangular base has height = 6 cm, length of base = 8cm. Height of prism = 10 cm. (एक त्रिकोणीय प्रिज्म की मात्रा की गणना करें, जिसके त्रिकोणीय आधार की ऊंचाई = 6 सेमी, आधार की लंबाई = 8 सेमी है। प्रिज्म की ऊँचाई = 10 सेमी।)
  2. A hemisphere has 3 cm radius. Calculate its volume? (एक गोलार्ध में 3 सेमी त्रिज्या है। इसकी मात्रा की गणना करें?)
  3. The volume of a cube is 512 cm3, Its surface area is? (एक घन का आयतन 512 सेमी 3 है, इसका सतही क्षेत्र क्या है?)
  4. A parallelogram has base length of 16cm and the distance between the base and its opposite side is 7.5cm. Find its area. (एक समांतर चतुर्भुज की आधार लंबाई 16 सेमी है और आधार और इसके विपरीत पक्ष के बीच की दूरी 7.5 सेमी है। इसका क्षेत्र ज्ञात कीजिए।)
  5. The length and width of a rectangle are 11.5 cm and 8.8 cm respectively. Find its area and perimeter. (एक आयत की लंबाई और चौड़ाई क्रमशः 11.5 सेमी और 8.8 सेमी है। इसका क्षेत्रफल और परिधि ज्ञात कीजिए।)
  6. If the length of the side of a square is 11cm. Then find its area and also find the total length of its boundary. (यदि एक वर्ग के किनारे की लंबाई 11 सेमी है। फिर उसका क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए और उसकी सीमा की कुल लंबाई भी ज्ञात कीजिए।)

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